Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому
Lo(Nl) = ot (NJ-a2 J и (N,) > 0. (6)
(=1
С другой стороны, для всех (х, t) из Q^Jy
т /¦ т / \ М-m Т 2 М-т" 2 * 2 М-т 2
Lo(x,t) = Lu(x,t)-\-----— Lr =--------Ar =----------------—a n< 0,
что в точке N^QKJy противоречит (6).
Следствие 1. Если функция u(x,t) удовлетворяет условиям (2) и (3) и
на множестве Q^y достигает наибольшего (наименьшего) в Q значения,
то и (х, t) = const в Q.
Доказательство. Допустим, что и (х, t) Ф const в Q. Тогда в силу
теоремы 1 max и(х, t) достигается только на параболической границе Г, что
Q
противоречит условию.
Из теоремы 1 и следствия 1 вытекает справедливость следующего слабого принципа экстремума : если функция u(x,t) удовлетворяет условиям
(2) и (3), то наибольшее и наименьшее значения функции u(x,t) по замкнутой области Q достигаются на Г = 3Q \ у.
Следствие 2. Если функция u(x,t) удовлетворяет условиям (2) и (3), то для любой точки (х, t)eQ :
а) min и (х, t) < и (х, t) < max и (х, t) ;
б) | и (х, t) | < max | и (х, t) |.
Следствие 3. Пусть функция u(x,t) удовлетворяет условиям (2) и (3).
Тогда если u(x,t)> 0 (< 0 ) на Г, то и (х, t) > 0 (< 0 ) в Q.
Теорема 2. Если существует решение задачи (2) - (5), то оно единственно.
Доказательство следует из принципа экстремума. Пусть существуют два решения щ(х, t) и и2(х, t) одной и той же задачи (2) - (5). Составим их разность и обозначим ее через u(x,t). Очевидно, функция u(x,t) удовлетворяет условиям (2) и (3) и
и(х, 0|г =и(х, t) |IuZ) =°.
Тогда таxu(x,t) и min и(х, t) достигаются на Г, а на Г функция
Q Q
u(x,t) = 0 . Тогда и(х, t) = 0 в Q , т.е. их(х, t) = и2(х, t) .
Теорема 3 (устойчивость решения). Решение краевой задачи (2) - (5) непрерывно зависит от заданных функций (риф.
Доказательство. Пусть их(х, t) - решение задачи (2) - (5) при граничных
функциях <рх и ф,, а и2(х, t) - при данных функциях (р2\л ф2. Причем пусть
| <рх(х) - <р2(х) | < ?, х е D и | фх(х, г)-ф2(х, t) | < ? , (x,t)e'L. (7)
Тогда при (x,t) е Q в силу следствия 2
| их(х, t)-u2(x, t) | < max | ux(x, t)-u2(x, t) | =
= max{max | фх(х, г)-ф2(х, f)|, max | ^(х)-^2(х)| }.
Отсюда в силу неравенств (7) имеем
| ux(x,t)-u2(x,t) | < ?, что и означает устойчивость решения задачи (2) - (5).
2. Решение задачи методом разделения переменных
Пусть п -1. В этом случае цилиндр Q представляет собой прямоугольник, D - отрезок (0,1), 1 - длина стержня (рис. 11), т.е. Q = {(х,0| 0 <х <1, 0 <t <Т) . В целях удобства дальнейшего изложения приведем постановки задачи применительно для случая п -1.
Ж t
y(t=T)
Q
Рис. 11
x=l
Первая начально-граничная задача. Найти функцию u(x,t) со свойствами :
и(х, t) е C(Q) n С^' (Q^y)\ (8)
Lu(x,t)sut-a2uxx=0, (х, t)eQuy; (9)
u(x,t)\^0=<p(x), 0<х<1, (10)
“(*,0L> = =^г(0. 0<t <Т,
где ср, фх, ф2 ~ заданные достаточно гладкие функции, причем д>(0)) - фх(0>) , (р(1) = ф2{ 0).
В дальнейшем рассмотрим только случай, когда фх({) =ф2^) = 0, т.е.
u(0,t) - u(l,t) = 0, 0<t<T. (11)
Отметим, что задача (8) - (11) является математической моделью
физической задачи распространения тепла в тонком стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре.
Для решения задачи (8) - (11) применим метод разделения переменных, основанный на теории рядов Фурье. Частные решения уравнения (9) будем искать на множестве Qvjy в виде произведения :
и(х, t) = X(x)T(t) Ф 0. (12)
Подставляя (12) в (9), получим
X(x)T'(t) = a2T(t)X"(x) или 1- = ^- = -А.
(X 1 Jv
Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
Г(0 + а2ЯТ’(0 = 0; (13)
Для нахождения нетривиальных решений u(x,t) вида (12), удовлетворяющих
граничным условиям (11), необходимо найти нетривиальные решения обыкновенного дифференциального уравнения (14), удовлетворяющие граничным условиям :
ЛГ(0) = 0, Х(1) = 0. (15)
В §9 нами исследована спектральная задача (14) и (15). Там было показано, что только при
Я =
f П7Г^2
кТ;
,п = 1, 2,...
(16)
существуют нетривиальные решения задачи (14) и (15):
V ? \ ¦ П7Г
