Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Ф'(*) = -F\x) = -/(х), а<х<Ь, если функция / интегрируема на [а, Ь\ и непрерывна на интервале (а, Ъ).
Из приведенных выше утверждений следует, что если функция /
непрерывна на R, а функции <р{х) и дифференцируемы на R, то на
основании дифференцирования сложной функции получим формулу d v(x)
— J /(О* = Л?(*)М*)- ЛуФХ^'С*) •
ах и.о
Пусть функция /(х) удовлетворяет условиям теоремы 5. Тогда одной из ее первообразных является функция
F(х) = , a<x<b .
а
Если Ф(х) является любой другой первообразной функции / на сегменте
[а, b], то на основании теоремы 1 § 8 имеем
х
Ф(х) = jf(t)dt + C, a<x<b.
а
Полагая здесь х = а, получим С = Ф(а). Подставляя найденное значение постоянной С в исходное равенство, будем иметь
jf(t)dt = <b(x)-0(a), a<x<b.
а
Отсюда при х = Ь получим важную формулу
= Ф(Ь)-Ф(а),
которую называют формулой Ньютона1-Лейбница2, для вычисления определенных интегралов от функций /(х), для которых известны
первообразные на сегменте [а, Ь\. Например,
2 = sin— — sin 0 = 1 — 0 = 1,
2
о
так как функция Ф(д:) = 8тд: является первообразной для функции
/(х) = cos х на [0, я/2]. Аналогично находим
1 Исаак Ньютон (1643 - 1729) - английский ученый.
2 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716) - немецкий ученый. 42
arctgx
o1 + x
7Г _ 7Г
= arctg 1-arctg 0 =-----------0 = —
4 4
о
Определенный интеграл имеет многочисленные приложения во многих областях математики и физики.
§ 10. Несобственные интегралы
При определении понятия определенного интеграла было существенным два момента: это, во-первых, промежуток интегрирования был конечным сегментом и, во-вторых, подынтегральная функция была ограниченной. Здесь дадим обобщение понятия определенного интеграла на случаи, когда:
1) промежуток интегрирования является бесконечным; 2) подынтегральная функция / является неограниченной в окрестности некоторых точек промежутка интегрирования.
Возникающие при этом обобщения интеграла называют несобственным интегралом соответственно первого и второго рода.
1. Несобственные интегралы первого рода. Пусть функция /
определена на бесконечном промежутке [а, + оо) и интегрируема в любой конечной его части [а, А], где А > а, т.е. при любом А > а существует определенный интеграл
\f{x)dx = F (А), (1)
а
который на [а, +оо) задает функцию F (А).
Определение 1. Предел интеграла (1) или функции F (А) при А —> + оо
называется несобственным интегралом первого рода от функции / на
промежутке [а, + оо) и обозначается символом
+оо
\f(x)dx. (2)
а
Итак,
+со def А
J/(x)Jx = lim J/(x)dx. (3)
Если предел (3) существует и конечен, то интеграл (2) называется сходящимся. Если же предел (3) бесконечен или не существует, то интеграл (2) называется расходящимся.
Аналогично (3) определяется интеграл от функции / на бесконечном промежутке (-оо, Ь\.
J/(х) dx = lim J/(х) dx .
-со В
Интеграл от функции / на промежутке (-оо, +со) определяется как предел
^f(x)dx = lim J/ (x)dx
B-+-X D
при независимом друг от друга стремлении у4к+оои5к-оо. Если с -некоторое действительное число, то интеграл от функции / на (- оо, + оо) можно определить и равенством
+оо с +оо
jf(x)dx= \f{x)dx + \f{x)dx.
“00 - 00 с
Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
+f dx ,
\1г77'к*0' <4)
1
Решение. Функция f(x) = —--------------- интегрируема на любом конечном
и +х
dx
к2 + х2 к
промежутке [О, А], А> 0, причем
л л
F(A)=f/(x)dx=f
dx 1 х = —arctg—
К
