Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
окрестности точки х0 имеет обратную функцию g (у) = /_1 (у), то
обратная функция дифференцируема в точке у0 - f(x0) и ее производная вычисляется по формуле
г'(у.) = (Г'(л)У =
f(x0)
Определение 5. Говорят, что функция / имеет во внутренней точке х0 промежутка <a,b> локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки х0, в пределах которой значение /(х0) является
наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием «локальный экстремум».
Теорема 6 (теорема Ферма1). Если функция / дифференцируема в точке х0 е (а, Ь) локального экстремума функции f, то /'(х0) = 0 .
Теорема 7 (теорема Ролля2). Если функция / непрерывна на \a,b\, дифференцируема по крайней мере на интервале (а, Ь) и /(а) = /(b), то существует точка се (a, b) такая, что f'(c) = 0.
Теорема 8 (теорема Лагранжа3). Если функция / непрерывна на [а, Ъ] и дифференцируема на (a, b), то существует точка с е (a, b) , такая, что
f(b)-f(a) = f'(c)(b-a).
Из теоремы Лагранжа вытекают следующие важные утверждения.
Теорема 9. Пусть функция / непрерывна на промежутке <a,b> и на интервале (a, b) дифференцируема. Тогда для того чтобы функция f была постоянной на промежутке <a,b>, необходимо и достаточно, чтобы /' (х) = 0 при всех х е (а, Ь).
Теорема 10. Пусть функция / непрерывна на <a,b> и на (а, Ь) дифференцируема. Тогда если /' (х) > 0 (/' (х) < 0) на интервале (a, b), то функция f строго возрастает (убывает) на промежутке < а, Ь>.
Из теории пределов известно, что при вычислении пределов от элементарных функций приходится сталкиваться с неопределенностями вида
—, —, 0-оо, оо-оо, 1®, 0° и оо°. Для раскрытия такого рода
О оо
неопределенностей используются замечательные пределы и свойства пределов. При этом для раскрытия указанных неопределенностей не было общего метода. Следующие теоремы Лопиталя4 восполняют этот пробел.
Теорема 11 (первая теорема Лопиталя). Пусть: 1) функции /(х) и
о
g(x) дифференцируемы в проколотой окрестности U(«, S) точки а и g'(x) Ф 0 при всех xe{j(a, S); 2) lim/(x) = limg (х) = 0; 3) существует
х-±а х-±а
предел (конечный или бесконечный) отношения производных в точке х-а:
lim
g'(X)
Тогда существует предел отношения функции /(х) на g (x) в точке х-a и он равен b, т.е.
lim =
Х^а g(x)
1 Ферма Пьер (1601 - 1665)-французский математик.
2 Ролль Мишель (1652 - 1719) - французский математик.
3 Лагранж Жозеф Луи (1736 - 1813) - французский математик.
4 Гильом Франсуа де Лопиталь (1661 - 1704) - французский математик.
Теорема 12 (вторая теорема Лопиталя). Пусть: 1) функции /(х) и g (х) дифференцируемы в проколотой окрестности U(tf, 8) точки а и при
о
всех х е U {a, 8): g'(x) ^ О / 2) lim / (х) = оо, lim g(x) = оо; 3) существует
(конечный или бесконечный) предел
i
?'(*)
Тогда существует предел
lim Я*>=Ь.
g{x)
Пусть функция / на промежутке D имеет производную /'. Если в точке x0eD функция /' (х) имеет производную, то ее называют второй
производной функции /(х) в точке х0 и обозначают f"(x0), или /(2) (х0).
Пусть далее функция / на промежутке D имеет производные /'(х)> •••.
/(л_1) (х). Если в точке х0 е D существует производная функции (х), то ее называют производной п - го порядка функции /(х) в точке х0 и обозначают /(л) (х0). Итак,
+ (5)
Дх-*° ДХ
Таким образом, если функция / имеет в точке производные до и-го порядка включительно, то
/“(*)=(/<-'>(*))'. и
Функцию, имеющую на некотором промежутке D производные до п - го порядка включительно, называют п раз дифференцируемой на промежутке D. Функцию, имеющую на D производные всех порядков, называют бесконечно дифференцируемой на промежутке D.
Примерами таких функций являются все основные элементарные функции.
Если считать /(0)(х) =/(х), то равенства (5) и (6) имеют место и при
п = 1.
Теорема 13 (формула Тейлора1). Пусть существует 8 > 0 такое, что функция /(х) имеете 8 - окрестности U (х0, S) точки х0 производные до
о
и + 1 -го порядка включительно. Тогда для любого х е U(*0>^) найдется точка S,, лежащая между х0 их, такая, что справедлива формула Тейлора
1 Тейлор Брук (1685 - 1731) - английский математик. 36
где Rn(x,x0) называется остаточным членом формулы Тейлора.
