Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
am ат
----- или а + х2=--------
т +1 т-1
пройти а-хх=-------- или а + х2=------- миль прямым курсом по направлению к
месту обнаружения подводной лодки, а затем двигаться по спирали гх((р) =----------------еп(р
т +1
в первом случае или по спирали г2 (ф) = —'й- — е”(р+гг) во втором случае.
т-1
Пример 13 (химические реакции). В результате химической реакции между жидкими веществами А и В образуется новое вещество С. Найти количество вещества С в любой момент времени после начала реакции, если: а) в момент начала реакции
количество веществ А и В равно соответственно а и b литрам; б) температура в процессе реакции не меняется; в) из каждых т литров вещества А и и литров вещества В образуется т + п л вещества С.
Решение. Предварительно напомним, что скорость, с которой образуется новое вещество С, называется скоростью реакции. Действующая масса или концентрация реагирующего вещества определяется количеством молей этого вещества в единице объема. Одним из основных законов теории химических реакций является закон действующих масс, согласно которому скорость химической реакции при постоянной температуре прямо пропорциональна произведению концентраций веществ, участвующих в данный момент времени в реакции.
Пусть x = x(i) - количество вещества С через время t после начала реакции.
dx
Тогда x(t) = — - скорость образования вещества С, т.е. скорость реакции. Из dt
условий задачи следует, что к моменту времени t в химическую реакцию вступило
111 П Г, Т
х литров вещества А и -----------х литров вещества В. Тогда к указанному
т + п т+п
т L п
моменту осталось a-------х литров вещества А и b-------х литров вещества В.
т+п т+п
На основании закона действующих масс приходим к дифференциальному уравнению
- к ~dt~
т ^
a-------х
v т + п j
г \
и п
b--------X
v т + п j
к> О,
которое можно переписать в следующем виде:
^- = у(а-х)(Р-х), (63)
dt
тпк а(т + п) _ Ь(т + п)
рДе У = 7-----а= ------------- ¦ ------ ¦
(т + п) т п
Разделяя переменные в уравнении (63), получим
dx
--------------= у dt
(iа-х) (Р~х)
или
dx dx ,
------------ = -y(P~cc)dt.
х-а х-р
Интегрируя последнее уравнение, имеем
ln|x-ar |-ln|x-/?| = -y(fi-a)t + C0,
где С0 - произвольная постоянная. Отсюда
х-а
= Ce-rU>-*)t' С = ес°. (64)
х-Р
ОС
Из начального условия х(0) = 0 находим С = — . Тогда из (64) получим
Р
k(bm-an)
1 _ e-r(P-a)' 1 _ e m+n '
x(t) = aB-----------r—- = a b (m + ri)------------r-r—r- (65)
4 ’ r B-ae~Y k(bm-an)t ' '
bm-ane m+n
, .. a(m + n)
Допустим, что bm>an, тогда из формулы (65) следует, что х(?)->------------ при
т
Ь(т + п) ,
t ->+оо. Если Ьт<ап, то х(?)->------------------- при ?->+ оо. Если Ьт = ап, то
п
а - fi = a + b и уравнение (63) принимает вид
dx , ч7
— = у{х-а)2. (66)
a t
Снова разделяя в (66) переменные и интегрируя, получим
— = /t + C0. (67)
а-х
Из условия х(0) = 0 и соотношения (67) найдем значение С0 = —. Тогда равенство
а
(67) с учетом значения С0 = 1/а , примет вид
