Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Теперь покажем, как можно круговой маятник заставить колебаться таутохронно, не прибегая к желобу. Для этого изготовим шаблон (например, из дерева), состоящий из двух одинаковых полуарок циклоиды, имеющих общую точку возврата (рис. 32). Шаблон укрепляется вертикально, а в точке возврата О привязывается шарик на нити длиной / = 4г, где г - радиус производящего круга циклоиды. Шарик, отклоненный в произвольную точку М, начнет совершать колебания, период которых не будет зависеть от выбора точки М. Даже если под влиянием трения и сопротивления воздуха размах колебаний будет уменьшаться, время колебаний маятника останется неизменным! Для кругового маятника длиной / = 4г, движущегося по дуге окружности, свойство изохронности приближенно выполняется для малых колебаний, когда дуга окружности незначительно отклоняется от дуги циклоиды.
Поэтому если теперь в формуле (59) положить г = 1/4, то период малых колебаний кругового маятника можно выразить через длину его нити I:
(59)
Рис. 32
Отметим, что циклоида является единственной кривой, двигаясь по которой материальная точка совершает изохронные колебания.
Пример 12 (кривая погони). Миноносец охотится за подводной лодкой в густом тумане. В какой-то момент времени туман поднимается и подводная лодка оказывается обнаруженной на поверхности воды на расстоянии а миль от миноносца. Скорость миноносца в т раз (т>\) больше скорости подводной лодки. Найти траекторию (кривую погони), по которой должен следовать миноносец, чтобы он прошел точно над подводной лодкой, если подводная лодка сразу же погрузилась после ее обнаружения и ушла на полной скорости прямым курсом в неизвестном направлении.
Решение. Для удобства введем полярные координаты г, ср так, чтобы полюс
О находился в точке обнаружения подводной лодки, а полярная ось г проходила через точку М0, где в момент обнаружения подводной лодки находился миноносец (рис. 33).
Рис. 33
Прежде всего миноносцу надо занять такую позицию, чтобы он и подводная лодка находились на одном расстоянии от начала координат О. Затем миноносец должен двигаться вокруг полюса О по такой траектории, чтобы оба движущихся объекта все время находились на одинаковом расстоянии от точки О. Только в этом случае миноносец, обходя вокруг точки О, пройдет над подводной лодкой. Следовательно, сначала миноносец должен идти прямым курсом к точке О до тех пор, пока он не окажется на том же расстоянии х от точки О, что и подводная лодка. На рисунке эти позиции отмечены соответственно точками М, и О,. Тогда расстояние х можно найти из равенства
х а-х
- =------- (60)
v то
или из равенства
х а + х
- =------¦ (61)
о то
где и - скорость подводной лодки, т о - скорость миноносца. Решая уравнения (60)
а а
и (61), находим, что х, =------ и х2 =------. Здесь встреча возможна только в том
т +1 т-1
случае, если миноносец и подводная лодка двигались по одной прямой. Если же встречи не произошло, то миноносец должен в дальнейшем двигаться вокруг точки О
по направлению движения против или по часовой стрелки, удаляясь от точки О со скоростью подводной лодки о. Разложим скорость то миноносца в точке М искомой траектории движения на две составляющие: радиальную ог и
тангенциальную оТ. Радиальная составляющая - это скорость, с которой миноносец удаляется от точки О : or =dr/dt, тангенциальная составляющая - это линейная скорость вращения миноносца относительно точки О. Она равна произведению угловой скорости d(pjdt на радиус г, т.е. от =r(d(p/dt). Поскольку ог=о, то
°т =л[{т^)2 -и2 =vym2 -1. Тогда решение исходной задачи сводится к решению
системы двух дифференциальных уравнений
dr d(p ГГ—
— = о, г—- = оут -1,
dt dt
которая путем исключения переменной t сводится к одному дифференциальному уравнению
dr _ dcp
r yjm2 -1 Решая полученное уравнение, находим
г = Сепр, (62)
где п = \/л1т2 -1, С - произвольная постоянная. Учитывая теперь, что миноносец начинает движение вокруг точки О на расстоянии х миль от полюса О, т.е. при
r(v) = xx =----- или г(-7Г) = х2 -------, получим в первом случае ц =--------, а во
т +1 m-l т +1
втором случае С2 =—— епж . Тогда формула (62) соответственно принимает вид : т-1
гх(<р) = Схг”> ,
т +1
г2(р) = С2е>'=-
on(<p+}г)
т-1
Таким образом, чтобы выполнить поставленную задачу, миноносец должен
