Транспорт электронов в биологических системах - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
константы скорости к\ и кз, поэтому а\ = max (&i, к?). Рассматриваемые состояния 5 и 6 переходят в остальные состояния с константами скорости кг, поэтому Ь\ = кг. Следовательно, согласно формуле (7.15) имеем
p$(t) +Рь(0^ I max^i’^) +[Ps(0) + Рб(0)~ к2 + тах^, к3)
____ШаХ^А^, к^ ) j ^-{кг +тах(к\, кт, ))t
к2 +тах(к1,к3)
Это неравенство показывает, что если константа скорости кг существенно больше констант скорости к\ и кз, то вероятность суммы рассматриваемых состояний пренебрежимо мала, начиная со времени т~ 1/кг.
7.2. Рекуррентный метод получения оценок
Одним из возможных способов получения оценок является рекуррентный метод, когда для получения новых оценок используются уже ранее найденные. В отличие от изложенного выше метода нахождения локальных оценок, он предполагает известным если не весь граф состояний, то по крайней мере его достаточно большую часть. В связи с этим его рационально применять в случае не очень сложных схем.
Рассмотрим граф состояний комплекса, имеющий следующий
- h ~ к2 кз кп , V
1 —^ 2 —^ 3 —^... —^ п . (7.16)
jwi |m2 |m3 ]тп
Такого рода схема переходов состояний комплекса, как мы увидим далее, часто встречается при анализе переходных процессов при фотосинтезе. Кроме того, она представляет самостоятельный интерес, поскольку часто возникает при кинетическом анализе переходных процессов в ферментативных реакциях [Березин, Варфоломеев, 1979], а также при анализе надежности различного рода систем [Гнеденко и др., 1965; Соловьев, 1975; Березин, Варфоломеев, 1979]. Если на этой схеме положить все тг = 0, то получится система последовательных мономолекулярных реакций, для которой известно как точное решение [Бартлетт, 1958; Родигин, Родигина, 1960; Бенсон, 1964], так и различного рода оценки [Гнеденко и др., 1965; Соловьев, 1975].
Точное решение
Будем предполагать, что все ki+ml—различные. Система дифференциальных уравнений, описывающая переходы, происходящие согласно схеме (7.1), имеет следующий вид:
dpi/dt = ki_xpi_l-{ki+mi)pi, j=l,2,...,n. (7.17)
Здесь по определению положено к$ = 0. Ниже будем предполагать, что начальные условия для рассматриваемой системы уравнений имеют вид:
р№ = 1, а(0)=0, i>2. (7.18)
Как можно проверить по индукции, решением системы уравнений (7.17) с начальными условиями (7.18) является следующее выражение:
/ —
Pi(t) = klk2...kt_1? - - , г = 1,2,..„и, (7.19)
здесь
х 0U — 2Т — Л5).
Полученное решение, хотя и элементарно, однако имеет достаточно громоздкий вид и трудноприменимо при больших п. В связи с этим ниже выведены простые неравенства, которые позволяют оценить кинетическое поведение отдельных переменных.
Вывод оценок [Шинкарев, 1982]
Обозначим через Mq и mq соответственно максимальную и минимальную из величин (ki + тг):
Мп = max(k; +т;), тп = min(к; + т;) (7.20)
q \<i<q ' q l<i<qy '
Подставляя в систему уравнений (7.17) вместо величин ki + тг величины Mq и тф получим следующую систему дифференциальных неравенств:
k,-\Pi-\ ~MqPi ^ Pi ^ k-\Pi-\ ~mqPi> i= Ь 2, ..., q-
(7.21)
Рассмотрим сначала правые неравенства. Вводя новые перемен-ные xt = pte 4 , i= 1, 2, ..., q, правые неравенства можно переписать в виде
i= 1, 2,..., q. (7.22)
Так как ко = 0, то решением первого неравенства в формуле (7.22) является
xi - xi(0) = А(0) -1- (7.23)
Легко видеть, что ,• = р,(0) = 1, />1, поэтому из формулы
(7.22) следует, что
t
xt < k^jx^dt, i> 1. (7.24)
о
Итерируя последовательно соотношение (7.24) с учетом (7.23),
Pi(t)
I г
0 t, время
Рис. 33. Область значенийpq(t), выделяемая оценками (7.27) имеем
tq~'
xq < ?—[у (7-25)
Возвращаясь к старым переменным, получим искомое неравенство:
Pq(О ^ (7‘26)
Аналогичное неравенство можно получить из левой части соотношения (7.21).
Таким образом, для последовательности мономолекулярных реакций, описываемых схемой (7.16), справедливы неравенства:
*1*2-А-i (д-\\е Ы“' ~Хч~ к'к2-кя-' ^
Исходя из полученных неравенств можно сделать следующие выводы:
1. Для малых времен, таких, как /<М-1, правая и левая части неравенств (7.27) совпадают, получим следующее приближение для отдельных переменных (см. также: Гнеденко и др., 1965, с. 300—305):
.."-(tf-l)!'
Это равенство показывает, что q-G переменное имеет лаг-период, тем более выраженный, чем больше номер состояния, причем по порядку степенной зависимости можно определить номер наблюдаемого переменного.
