Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Легочный и тканевой резервуары вместе с соединяющими их сосудами представляют собой объект управления и вначале рассматриваются изолированно от остальной части системы. Для облегчения математического исследования вводится ряд упрощающих предположений, но здесь мы отметим лишь некоторые из них:
1. Легочный и'тканевой резервуары имеют постоянные объемы Ка и Кт соответственно.
2. СОг поступает в легкие с вдыхаемым воздухом со скоростью VaF, где VA — скорость вентиляции и F—концентрация СОг во вдыхаемом воздухе. Кроме того, СОг поступает в легочный резервуар с венозной кровью со скоростью <73.
3. С02 удаляется из легких с выдыхаемым воздухом (со скоростью q 1) и с артериальной кровью (со скоростью q2).
4. СО2 поступает в тканевой резервуар, образуясь в процессе обмена (со скоростью М), а также с артериальной кровью (со скоростью q2). СО2 удаляется из тканевого резервуара венозной кровью со скоростью qz.
Пусть теперь 0а, 0т обозначают соответственно концентрации СОг в легочном и тканевом резервуарах. Тогда результирующие скорости изменения ^концентрации СОг в легких и в тканях можно записать в следующем виде:
= 1 (1УАр 4^3 - 9l - q2) (9.2)
dt КА
4—^(Л + Ь-?з). (9'3)
Соотношения, выражающие qiy q2 и qz через 0л, 0г и различные другие параметры, можно найти из условий равновесия для потоков С02. Например, при равновесии
№ = (9.4)
и
07-С = дя, (9.5)
где С — минутный объем сердца (см. разд. 3.7). Наконец, еще одно условие равновесия выражается уравнением
q2=CWA + CS, (9.6)
где R и S — постоянные, связанные с характеристиками процесса поглощения СОг.
Следуя Гродинзу, будем рассматривать концентрации 0а, 0г как выходные сигналы объекта управления, а за входной сигнал (возмущающее воздействие) примем .F. Прочие параметры, такие, как VA, считаются постоянными. Подставляя выражения
(9.4) — (9.6) в (9.2) и (9.3) и исключая 0Г из первого уравнения, полученного в результате подстановки, и 0а — из второго, мы приходим к следующей системе уравнений:
='г+(4г)тг+77- <9-7>
I ( К А У? I Кт \ I В
CVA J dfl \гА с j dt
= + + (9.8)
Это и есть система уравнений объекта управления, аналогичных
(8.1). При конкретном выборе формы F (скажем, в виде ступенчатой функции или единичного импульса) можно решить эти уравнения и получить передаточную функциюЧаля. изолированного объекта управления. Можно отметить, что объект управления, рассматриваемый изолированно, вполне линеен.
Как уже было отмечено, в приведенном выше выводе скорость вентиляции VA предполагалась постоянной. Если провести все прежние рассуждения, но предположить, что величина F постоянна, a VA является функцией t, то уравнение (9.8)-останется справедливым, а (9.7) нужно заменить значительно более сложным уравнением. Не выписывая его, укажем, что, хотя зависимость величины VA от t непосредственно не отражается на линейном характере объекта управления, коэффициенты дифференциальных уравнений уже не будут постоянными. Поэтому те методы исследования, которые развивались раньше, в принципе будут пригодны и для этого случая, но потребуется несколько модифицировать их применительно к этой более общей ситуации.
Обратимся теперь к фиг. 29 и рассмотрим объект управления совместно с управляющим устройством, или регулятором. Мы видим, что VA является выходным сигналом регулятора, а 0г подается к регулятору по каналу обратной связи и служит, таким образом, его входным сигналом. Следовательно, в замкнутой системе VА должно |быть выражено как функция 0Г. При подстановке полученного выражения для Va в (9.7) это уравнение станет нелинейным. Здесь мы вновь встречаемся с «параметрической обратной связью», о которой уже упоминалось раньше; это понятие будет более подробно рассмотрено в разд. 11.1.
Уравнение, описывающее работу самого регулятора, записывается совсем просто:
VA = k(eT-d°T) + k\
где k и k' — константы, 6°т — уставка. Таким образом, объект управления и регулятор, если их рассматривать изолированно друг от друга, вполне линейны (хотя уравнение для объекта управления может иметь переменные коэффициенты). Раздельное изучение этих двух систем дает возможность получить очень ценную информацию о механизме регуляции дыхания; по этому поводу мы отошлем читателя к цитированной оригинальной литературе.
В заключение рассмотрим систему, которая построена по схеме, аналогичной фиг. 29, но регулируется другим способом: в ответ на возрастание F выходной сигнал регулятора вызывает не увеличение VA, а уменьшение коэффициента R. Такую систему удается полностью описать в линейных терминах, и это позволяет избежать всех математических трудностей, относящихся к нелинейным системам и к уравнениям с переменными коэффициентами. Но реальное осуществление такой системы
