Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
другими словами, передаточная функция системы оказывается как раз равной преобразованию Лапласа выходного сигнала* соответствующего входному сигналу вида единичной импульсной функции.
Разовьем наши рассуждения несколько дальше, так как этот вопрос имеет важное теоретическое значение. Применяя к равенству (8.9) обратное преобразование Лапласа, находим
у(0=я(9,
где H(t) =Z,-I[G(s)]. Но y(t) представляет выходной сигнал, соответствующий единичному импульсу, поданному на вход системы в момент ^=0. Единичный импульс, подаваемый в некоторый момент времени aj>0, можно, очевидно, записать как 6 (t—ai). Предположим теперь, что, кроме единичного импульса, приложенного к системе в момент t = 0, при t = a\ подается также добавочный единичный импульс. Тогда в формулу (8.8) нужно подставить
F(3 = 8(0 + 8(*-«,)f
откуда тотчас же следует, что
y{t)=H{t) + H{t-^).
Если, в общем случае,
N
*=1
то
N
yW=2^(<-as),
*=i
а в пределе, если
т
F (t) = j 6 (/ — a) da.,
о
то
т
y(t)=*$ff(t-a)da. (8.10)
о т
Заметим теперь, что F(t)~ j д (t—a) da представляет собой не
что иное, как входной сигнал продолжительности Т, величина которого равна 1, а (8.10) —сигнал на выходе, соответствующий этому входному сигналу. Таким образом, мы рассматриваем этот входной сигнал как непрерывную последовательность единичных импульсов. Аналогичное построение может быть проведено и для произвольной кусочно-непрерывной функции F(t); всякая такая
функция может быть представлена в виде суперпозиции единичных импульсов, помноженных на соответствующие амплитудные множители, а реакция системы на эту входную функцию представляется в виде суммы или интеграла выходных сигналов, соответствующих таким отдельным импульсам Иными словами, оказывается, что для каждого значения t, 0 ^ t Т,
т
F (0 = J F (а) Ь (t — a) da,
о
а соответствующий выходной сигнал записывается в виде так называемого интеграла свертки
т г
у (t) — | F (а) И (t — а) da = J Н (a)F(t — a) da (8.11)
о о
(в последней формуле переход от первого интеграла ко второму производится с помощью замены переменной интегрирования t на t—а). Приведенные рассуждения не дают еще, разумеется, строгого доказательства, но они имеют важное эвристическое и теоретическое значение, так как формула (8.11) позволяет непосредственно выписать в явной форме выходную функцию линейной системы при произвольном входном сигнале F(t). Инте-
1 Этот результат выражает одно из важнейших свойств линейных дифференциальных уравнений и систем, описываемых такими уравнениями Основной факт, на который опирается проведенное выше исследование, состоит в том, что если y\(t), yn(t) —два различных решения линейного однородного дифференциального уравнения, то их линейная комбинация Ayi(t) +By2(t) также является решением этого уравнения, а если эти функции суть решения соответствующих неоднородных уравнений с правыми частями F\(t), F^t), то линейная комбинация Ayi(t) +By2(t) удовлетворяет неоднородному уравнению с правой частью, равной AFi(t)+BFt(t). Применяя терминологию, которой мы пользовались при изучении систем, описываемых таким уравнением, можно выразить приведенное выше утверждение следующим образом: реакция линейной системы на последовательные импульсы представляет собой алгебраическую сумму выходных сигналов, соответствующих каждому импульсу в отдельности (с учетом, разумеется, сдвигов фаз сигналов) Это свойство выражает так называемый принцип суперпозиции, и интеграл свертки (8 11) есть не что иное, как общее математическое выражение этого принпияа Именно в этом смысле интегральное соотношение (8.11) и дифференциальное уравнение (8.1) эквивалентны и описывают одну и ту же систему. Не Всегда, однако, можно легко перейти от данного интегрального уравнения (8.1\1) к соответствующему дифференциальному уравнению вида (8.1).
Доказательство того, что всякую непрерывную функцию (а на самом деле даже всякую интегрируемую функцию) можно рассматривать как предел последовательности ступенчатых функций, можно найти в литературе (см., например, [62], стр. 30 и далее).
тральное представление (8.11) можно использовать вместо исходного дифференциального уравнения (8.1) для эквивалентного определения рассматриваемой линейной системы (см.разд. 10.4).
8.4. Передаточные функции систем из нескольких звеньев
Допустим, что имеется некоторая линейная система, обладающая передаточной функцией G (s), на вход которой подается сигнал г/i (0, и при этом получается выходной сигнал г/г(0-Тогда по определению
