Конструкция мозга. Происхождение адаптивного поведения - Росс Э.У.
Скачать (прямая ссылка):
— 5 4 —2
—4 —4 —9 • _
В этом случае второй определитель Гурвица равен —86, и дальнейшее исследование не требуется. При /Г>3 объем работы быстро возрастает, так как время, необходимое для исследования, растет приблизительно как га*. Результаты произведенных испытаний сведены в табл. 6.
Мы обращаем внимание на скорость, с которой вероятность устойчивости стремится к нулю при увели-
ТАБЛИЦА 6
Порядок Число Число Доля устой
матрицы испытаиий устойчивых чивых систем,
систем %
2X2 320 77 24
3X3 100 12 12
4x4 100 1 1
чении п. Можно высказать гипотезу, что вероятность
устойчивости матрицы порядка п равна • Эта гипотеза
совместима с данными таблицы (%г=4,53, Р=0,10). Гипотеза может быть непосредственно проверена при п=1 и п—2. К такому же выражению для вероятности можно прийти, обратив внимание на то, что проверка устойчивости матрицы порядка п по признаку Гурвица состоит из п этапов, и на каждом этапе отпадает около половины матриц. Если предположить, что знаки определителей Гурвица статистически независимы, то вероятность
1
устойчивости системы в точности равна .
В описанных испытаниях знаки элементов главной диагонали были равновероятно положительными и отрицательными, т. е. переменные были с одинаковой вероятностью внутренне устойчивы и неустойчивы. Поэтому интересно исследовать вероятность устойчивости системы при условии внутренней устойчивости всех ее переменных (это означает, что элементы главной диагонали равномерно распределяются между 0 и —9).
Соответствующие испытания также были проведены, и вероятность устойчивости оказалась больше, чем в первом случае. Так, при и=1 она равна 1 (вместо /4), при и=2 равна */4 (вместо г/4). Результаты этих испытаний приведены в табл. 7. Как и в первом опыте, вероятность падает при увеличении п.
Аналогичные испытания были проведены с гомеостатом. В этих испытаниях блоки взаимодействовали между собой в условиях, определенных с помощью уни-
ТАБЛИЦА 7
Порядок Число Число Доля устой
матрицы испытаний устойчивых чивых систем,
систем %
2X2 120 87 72
3X3 100 55 55
селекторов. Положение униселекторов оставалось неизменным в течение одного испытания, так что обычная сверхустойчивая (ультрастабильная) обратная связь была нарушена. Сначала находили долю устойчивых систем для двух блоков, а затем — при тех же общих условиях — для трех и четырех. Потом изменяли общие условия и находили новую тройку вероятностей. И так
Ф и г. 66.
далее, всего 6 раз. Из-за различия в общих условиях устойчивость оказывалась иногда высокой, иногда низкой. Но в каждом случае доля устойчивых систем падала при увеличении числа взаимодействующих блоков. Результаты этих испытаний приведены на фиг. 66. Каждая
кривая проведена через точки, изображающие вероятности устойчивости системы при одних и тех же общих условиях.
Эти результаты доказывают весьма мало. Мы привели их лишь для подтверждения мысли о том, что вероятность устойчивости большой линейной системы, составленной случайным образом, мала, и, следовательно, большая система должна, вообще говоря, считаться неустойчивой — до тех пор пока не будет установлено обратное.
ПАРАМЕТРЫ
21.1. В двух предыдущих главах мы рассматривали определяемые состоянием системы в изолированном состоянии или с постоянным входом. Теперь мы перейдем к изучению систем, на которые влияют внешние воздействия или на вход которых подаются изменения. Иными словами, мы переходим к рассмотрению «машин с входом» (см. «Введение в кибернетику», гл. 4).
Из опыта известно, что эти изменения соответствуют введению в каноническое представление параметров, так что это представление приобретает вид
dxijdt=fl(xl, .ха\ а„ а2, ...) (г = 1, ...,л).
21.2. Если зафиксировать вектор а (ах, аг, ...), то мы получим набор функций /р зависящих только от хг, следовательно, придем к системе, определяемой состоянием. Отсюда следует, что каждый набор значений параметров отвечает некоторому определенному полю. Иными словами, можно установить соответствие между двумя множествами: 1) множеством значений а и 2) множеством полей, которыми может обладать система (см. фиг. 68); установление этого соответствия представляет собой, может быть, самый фундаментальный факт из всех, о которых шла речь в этой книге.
Можно показать, что это соответствие не взаимнооднозначно, а многозначно — в то время как одному значению вектора а(а,, а2, ...) соответствует единственное поле, одному и тому же полю могут отвечать различные векторы. Таким образом, это соответствие является отображением типа Бурбаки.
Характер этого отображения наглядно представлен на фиг. 67. Каждая точка верхней линии Р соответствует одному значению вектора а, каждая точка нижней линии F соответствует одному полю системы. Заметим, что 1) каждое значение вектора определяет одно поле,
