Конструкция мозга. Происхождение адаптивного поведения - Росс Э.У.
Скачать (прямая ссылка):
19.21. Мы редко будем пользоваться явным решением системы
dxijdt = fi(xl, ...,хп) (i = 1,
однако укажем некоторые методы его получения, так как это потребуется нам для некоторых примеров.
(1) Укажем простое символическое решение, с помощью которого можно получить несколько первых членов разложения xt в степенной ряд по t. Оно дается формулой
= (i—l, ... ,п), (1)
где X — оператор
f1 (*!, ... , х„) fn (*i> • • • >хп) ^ > (2)
а
е'*=;1 + гх-|-?х‘+|!х>+... . (3)
Сделаем следующее важное замечание: если начальные
значения х равны х1..........х„, то любая функция
Ф (хг, ... ,хп) может быть представлена в виде функции от t следующим образом:
Ф(*,......хп) — е*хФ (x°i....х°„). (4)
(2) Если функции /,• линейны, т. е.
..................................... 1 (5)
dzjdt = апгхг + апгхг + • • • + А + Ьт )
и если bt равны нулю (чего можно добиться 1 переносом начала координат), то уравнения можно записать в матричной форме
х = Ах, (6)
где ж и х — векторы-столбцы, а А —квадратная матрица [а,у]. Решение системы в матричной записи имеет вид
х = eiAx°. (7)
(3) Для фактического решения линейных систем наиболее удобен метод преобразования Лапласа. Детальное изложение этого метода читатель может найти в учебниках.
19.22. Любое сравнение систем, определяемых состоянием, с другими типами систем, изучаемых в физике и термодинамике, требует осторожности. Следует заметить, что в концепции системы, определяемой состоянием, вообще не рассматривается энергия системы или закон ее сохранения и что абсолютная система, к какой бы «машине» она не относилась, является по существу необратимой. Это можно установить, рассмотрев уравнения § 19.7, каноническое представление § 19.9 или частный случай такой системы — поле простого маятника (см. фиг. 4).
'При условии совместности системы ^ад*]-1~ 6, = О,
/ = 1, . ,.,л.— Прим. перее.
УСТОЙЧИВОСТЬ1
20.1. Как мы увидим в § 21.14, в каноническом представлении содержится вся информация о реальной «машине», которая может быть получена приданном выборе системы переменных. Выбирая определенную систему, экспериментатор знает, что с ее помощью он сможет получить лишь ограниченную часть всей бесконечной информации, которая содержится в реальной «машине». Но даже и эту часть информации не всегда можно получить полностью, так как каноническое представление, определяющее поведение хг, ..., х п, может быть очень сложным и трудным для исследования. Пусть, например, астроном изучает звездное скопление, состоящее из 20 ООО звезд, и его интересует вопрос: будет ли это скопление сжиматься в шар или, наоборот, распыляться? Можно было бы написать каноническое представление этой системы (в нем 120 ООО переменных), которое в принципе позволило бы ответить на этот вопрос. Но работа, которую пришлось бы для этого проделать, настолько велика, что астрономы, как и другие исследователи в аналогичных случаях, ищут такие методы, при помощи которых можно было бы в определенных случаях, не используя всей информации, содержащейся в каноническом представлении, т. е. не вдаваясь во все детали, получать простые ответы на простые вопросы. Отсюда — появление статистических и топологических методов, использование таких понятий, как независимость (§ 12.4) и т. п.
1 В основном тексте книги английский термин «stability» переведен словом «стабильность», принятым в физиологических работах. В этом дополнении, как и в переводе книги Эшби «Введение в кибернетику», «stability» переводится как «устойчивость», в соответствии с общепринятой математической терминологией. — Прим. перев.
Среди зтих понятий выделяется понятие устойчивости. В гл. 5 «Введения в кибернетику» уже были установлены основные свойства этого понятия. Здесь мы будем рассматривать его только в той форме, которая относится к непрерывным системам, и на том уровне строгости, который необходим для наших целей.
20.2. Пусть дана изолированная система в неизменяю-щихся условиях, так что она имеет единственное поле; дана область в этом поле и точка в области. Линия поведения называется устойчивой по отношению к данному полю, области и точке, если, выходя из этой точки, она целиком содержится в данной области.
20.3. Если внутри заданной области все линии поведения устойчивы и сходятся в одной точке, мы будем говорить, что система обладает нормальной устойчивостью.
20.4. Состояние равновесия можно определить различными способами. В поле — это конечная точка некоторой линии поведения. В уравнениях § 19.7 состояние равновесия X,, ..., Хп дается уравнениями
lim F{ (х°, t) (г = 1, •••,«), (1)
t-> + 0O
если существуют все п пределов. В канонических уравнениях зти значения удовлетворяют соотношениям
хп) =0 (» = 1, •• -, и)- (2)
