Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
нулевой гипотезы, а именно: что данный фактор А (или В, или С и т. д.) не
влияет. Если правильна нулевая гипотеза, o3i должна быть равна нулю (то
же относится к о%, а'6 и т. д.), т. е. вся вариация сводится только к
случайной.
190
Для того чтобы отбросить нулевую гипотезу, нужно доказать, что а\
достоверно (т. е. с вероятностью не меньшей, чем 0,95, или с уровнем
значимости 0,05) отличается от нуля. Достоверность значения а% может быть
установлена, как это обычно делают по отношению к любому статистическому
показателю, путем деления его на ошибку, т. е. ст| (а? в данном случае
играет роль ошибки).
, Простейшая схема варьирования при различии по одному фактору. Для того
чтобы понимать смысл расчетов при диспер-сионном анализе, очень важно с
самого начала ясно представлять возможную вариацию в тех группах, на
которые разбивается фактический материал.
Разберем простейшую схему, когда анализируется влияние только одного
фактора, могущего принимать разные градации, или количественные уровни:
1, 2 i а.
Отдельные наблюдения (варианты) разбиваются на группы согласно этим
градациям фактора, изучаемого в опыте или при наблюдениях в природе.
Важно, что изучаемый фактор только один, например: сортность культуры,
или принадлежность к разным видам, или влияние удобрения, или роль
способов обработки почвы и т. д. При наличии двух или нескольких факторов
потребуются более сложные схемы.
Распределение вариант при различии по одному фактору представлено в табл.
41.
Таблица 41
Схема варьирования при различии групп по одному фактору
Группы по одному фактору Отдельные варианты (наблюдения)*^
Суммы по группам Ti Средние по группам Xi
1 2 3 ... / п
1 *12 *13 *ч *1/1 ? li н н *i
2 *21 *22 *23 *2J *2/1 2*2 - *2
; г '
i *Л **2 */3 хч xin II *Г
а Ха1 *в2. *ЛЗ xaj хап " И * *^
г 2 хи=Т *
191
Число наблюдений (вариант) в каждойгруппе л, но равное число в группах не
обязательно. При неравнрм числе можно исходить из среднего числа щ.
Групп, иначе уровней фактора А,- а. Количество всех вариант 1
\ N-an( - atti).
Обычно разные уровни принято обозначать буквой i, а отдельные варианты
(наблюдения) - буквой j. Поэтому каждую варианту, независимо от того, где
она находится, можно обозначать в общем виде как хц. В пределах каждого
уровня (группы) отдельные варианты принимают случайные значения:
X.lj Х.2, JC-3, ... , X.jf ... ,' Х-п *
Суммы вариант по каждой группе (в графе "суммы по группам") обозначены
буквами Тъ Т2,..., Tt,..., Та. В общем виде их можно обозначить Tt. Общая
же сумма всех вариант 2 х1} = Т. В последней графе даны средние по
группам хъ х2, ... , xt , ... , ха. В общем виде групповые средние можно
обозначить через хи ¦ Общую же среднюю для всех вариант всех групп -
через ~х.
Разное варьирование вариант и его характеристика. После введения этих
обозначений можно приступить к разбору варьирования данных,
представленных в.табл. 41.
Можно выделить как бы 3 типа, или направления, варьирования:
а) общее варьирование всех вариант (ху), независимо от того, в какой
группе они находятся, вокруг общей средней ~х\
б) варьирование групповых средних xit или, иначе, средних каждого уровня
данного изучаемого фактора, вокруг общей средней х;
в) варьирование вариант х1} внутри каждой группы вокруг каждой групповой
средней Хь.
Для характеристики этих варьировании при проведении дисперсионного
анализа используются уже известные из общего курса статистики величины:
а) суммы квадратов отклонений от средней арифметической;
б) средние квадраты отклонений, т. е. суммы квадратов, деленные на
количество степеней свободы. Это вариансы сг2.
Суммы квадратов. Для всех 3 типов варьирования можно вычислить суммы
квадратов (слово "отклонений" для краткости будем отбрасывать). В общем
виде они будут следующими:
1. Общая сумма квадратов .
2 {xtj-xf. и
Значок ij около знака суммы ¦ обозначает, что суммирование прозводится по
всем вариантам всех групп.
J92
2. Сумма квадратов для групповых средних
2 л, &-*)*,
Чтобы эта величина была того же порядка, что и первая, введен множитель
л,-, т. е. среднее число вариант в каждой группе (если число вариант во
всех группах одинаково, то просто л).
3. Сумма квадратов отклонений вариант от групповых средних внутри каждой
группы, иначе говоря, для случайной вариации внутри групп
2[2(х"- xtn
i i
Два знака сумм указывают, что суммация производится дважды: внутри каждой
группы, т. е. по отдельным / (от 1 до л), а затем по всем уровням i (от 1
до а).
Степени свободы. Чтобы вычислить средние квадраты (вариансы), надо
разделить каждую сумму квадратов на соответствующие им числа степеней
свободы, которые будут следующими:
для общей дисперсии
df=N- 1 (N=an);
для дисперсии групповых средних
df=a- 1;
для случайной вариации вариант внутри групп df= (л - 1) л=па-a=N-а.
Нетрудно заметить, что сумма чисел степеней свободы для групповых средних
и для вариации внутри групп должна равняться числу степеней свободы для
