Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
для каждой из которых уже известна средняя арифметическая, можно
вычислить так называемую взвешенную среднюю арифметическую для сложной
совокупности по ф.ормуле
где *1, х2, х3, ... xk - средние арифметические отдельных частных
совокупностей, а пъ пг, ns, ... ,nk - число членов в каждой частной
совокупности (их называют также весами частных совокупностей).
Всего совокупностей k. Сумма "1 + "2+"з+...+"&=".
Можно также определить взвешенную вариансу (и среднее квадратическое
отклонение) для объединенной совокупности по формуле
(пг-1) + ("2-1) + • • • + s*(nk-1)
;• (13)
Это будет средняя арифметическая варианс частных совокупностей.
Возьмем следующий схематический пример. Для трех групп (частных
совокупностей)
- xlnl + jyit + x^i3 +... + xkn" Я1 + П2 ~h п3 + • • • + '
(12)
"1 = 6 хг = 10 oj = 4
"2 =10 х2 = 12 а\ - 3
"з = 18 х3 = 9 "з = 2
Тогда
Л0 • 6+ 12 • 10 + 9-18
0взв = 1 2,61 = 1,6. 40
Существенно, что знаменатель представляет собой сумму чисел степеней
свободы трех отдельных групп, которая в данном случае равняется п-3.
Различные модификации формул для суммы квадратов, варианс и средних
квадратических отклонений. Как уже указывалось, в некоторых случаях
варианса (и среднее квадратическое отклонение) может быть вычислена не по
общим формулам (2), (3), а по рабочим. Среди последних были формулы (5),
(6), (8). Все они основаны на том, что сумма квадратов отклонений вариант
от средней арифметической, т. е. 2(х,- х)2, может быть преобразована
различным образом. Так, например, если принять А равным нулю, то формула
(8) для а2 принимает такой вид:
2 xf - пх1
(14)
и / 2 xf - пх2 ," , v
"= ]/¦¦ "_| ¦¦ <14а>
Иначе говоря, можно получить значение вариансы, вычтя из суммы квадратов
вариант квадрат средней арифметической, умноженный на п, и разделив эту
разность на число степеней свободы. Таким же образом вариансу можно
вычислить и на основе данных табл. 10. Для этого понадобится лишь графа
х2. Ее легко получить с помощью таблицы квадратов или арифмометра.
Учитывая, что п = 8, для вычисления а2 (и соответственно а) знаменателем
надо взять число степеней свободы п- 1-7. Дальнейшее преобразование
формулы (14) позволяет еще более упростить схему вычислении, сделав ее
очень удобной, в частности, для машинных вычислений. Так как nx~2xiy то
2 xf - 2 xtx 2 *
(15)
у/ . (15а)
f п - 1
В этом случае для определения вариансы нужны только: сумма всех вариант
(2 л;,-), сумма квадратов всех вариант (2 х?), средняя арифметическая (х)
и число вариант или наблюдений (п).
Так как х - то, подставив значение х в предыдущие фор-
мулы, получим:
о' = ¦ '-"-г" ; (16)
п - 1 2x1
(16а)
41
Эта формула еще более удобна, особенно для машинных вычислений.
Приведенная выше формула (5)
(2 fXf п
2/Xя - '
а* =
п - 1
является модификацией для случая, когда данные сгруппированы в
вариационный ряд и для каждого класса известны среднее значение класса X
и частота f.
В зависимости от того, какие данные следует обработать и какие
технические возможности имеются для проведения вычислений,
можно'применять любую из этих формул. Так, например, данные табл. 13 о
весе при рождении морских свинок могут быть обработаны с помощью счетной
машины на основе следующих исходных данных:
я = 20; 2 х, = 605; 2 х} = 18547.
Тогда
*= ^- = ^ = 30,25 г'
П
2^.
<3 Ч?
18547-
605*
20 _ 245,75
п - 1
19
19
= 12,93.
В числителе для о2 получено по этой формуле то же число 245,75, как и при
применении формулы (9). С помощью различных формул вычисляется в конечном
счете одна и та же величина в числителе для о2, а именно ^ 2 (xt - х)2,
т. е. сумма квадратов отклонений вариант от средней арифметической. Так
как сумма квадратов отклонений представляет собой важнейшую величину в
целом ряде разделов биологической статистики, небесполезно дать сводку
различных ее значений, вытекающих из указанных выше формул:
2 (xt - х)2
1. 2x1 -
2. 2fX2-
(Zxtf. . п ' (2 fX)\
3. 2xi -пх2\
4. 2х2 - 2 xtx\
5. 2(xt - A)2 - n{x - A)2\
6. 2faH2 - т2/^?У.
Сумму квадратов отклонений от средней арифметической 2 (xt - х)2 часто
называют сокращенно суммой, квадратов. Мы будем в дальнейшем обозначать
ее буквами ss. Из этого списка ра-
42
бочие формулы 1,-3 и 4, как и общая формула 2 (я,-х)*, не требуют
группировки исходных данных в вариационный ряд.
Вычисление суммы квадратов может быть сильно облегчено приемом, который
носит название кодирования. Он заключается в том, что фактические
варианты уменьшают на какую-либо величину, с новыми их значениями
проводят все необходимые действия, а в окончательный результат вносят
поправку.
Допустим, что изучают 10 телят, веса которых (в кг): 106, 117, 124, 127,
128, 131, 136, 141, 145 и 158. Из этих значений вариант можно вычесть по
100 кг и к оставшимся величинам применить первую формулу для суммы
квадратов. Тогда
2х* = 6 + 17+24+ ...+58 = 313;
2*j2 = 62+172+...+582= 11741;
2(^ - х)2= 11741-= 1944,1.
Такой же была бы сумма квадратов и в том случае, если бы были взяты
