Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
каждом из эмпирических илй теоретических классов не менее 5 вариант.
Поэтому следует объединить 2 верхние строки (0 и 1) в один класс и то же
проделать с 2 нижними строками. Все дальнейшие вычисления, приведенные в
табл. 40, само собой ясны. Число степеней свободы в данном случае по
формуле df=k-2. Тогда df - 5 - 2 = 3.
Пользуясь табл. X, находим, что вычисленное значение %2 превышает
табличное, находящееся в графе р = 0,50, но меньше табличного графы
р=0,25. Таким образом, обнаруживается хорошее соответствие фактических
частот вариационного ряда ожидаемым при биномиальном распределении.
По тому же принципу проводится сравнение эмпирических частот
вариационного ряда с теоретическими и вычисление %2 при нормальном и
пуассоновом распределениях. Но рассчитать теоретические частоты при этих
распределениях значительно труднее.
Напомним, что пуассоново распределение в принципе является тем же
биномиальным, но относится к явлениям, обладающим очень малой
вероятностью. Поэтому оно асимметрично. Как указано в гл. 3, характерным
признаком для пуассонова распределения является то, что средний квадрат
отклонений и средняя арифметическая (х или X) количественно почти равны.
Именно по этому признаку можно отличить пуассоново распределение от
других распределений. t
Теоретические частоты пуассонова распределения представляют собой
следующий ряд:
п , " , \п\ лХ* лХ* . лХ4 ¦
-т- (нулевой член); -г-; -г; г. -------------;--г- и т. д.
е ' ех 2е\ (2)(3)ех- (2)(3)(4)ех
Здесь п - общее количество вариант в вариационном ряду, е - основание
натуральных логарифмов (значение его приблизительно равно 2,718, а его
логарифм при основании 10 равен 0,43429...), X - средняя арифметическая
вариационного ряда при пуассоновом распределении (х). Коэффициенты в
знаменателе являются известными из математики факториалами, обозначаемыми
знаком "1". Факториал для первого члена 01 = 1, для второго 11 = 1, для
третьего 21 = 1 • 2, для четвертого 31 = 1 • 2 • 3 и т. д.
256
Поскольку в значение частот входит величина е, возведенная в степень X,
расчеты надо вести с помощью логарифмов, позднее же по логарифму
определить данную частоту.
Для удобства расчетов ряд теоретических частот выгоднее представить
в'следующем виде:
ft)'* (т)(4)=
Достаточно вычислить первый член, и тогда все последующие члены можно
получить из предыдущих путем умножения на X,
-jp у и т. д. На конкретном примере ход вычислений
с применением логарифмов будет выглядеть следующим образом. Допустим, что
средняя арифметическая X = 3,0204. Средний квадрат отклонений, т. е. о?,
также равен 3,0204. Отсюда можно сделать вывод, что распределение
пуассоново. Число вариант п = 98. Первый член ряда равен
98
е3,0204 *
Логарифмируем его: log 98= 1,99123; log (а3-0204) =3,0204X
X log е = 3,0204 • 0,43295= 1,31175.
При логарифмировании дроби надо от логарифма числителя отнять логарифм
знаменателя:
1,99123-1,31175 = 0,67948.
Таков логарифм искомой частоты. По логарифму определяем частоту, которая
равна 4,78.
Зная первый член ряда, все последующие можно найти и без помсяци
логарифмов. Так, для получения второго члена надо умножить число 4,78 на
значение X, т. е. на 3,0204. Получим частоту 14,44. Для получения
третьего члена надо умножить частоту
второго члена на -у- • 3,0204. Получим частоту 21,81 и т. д. Но
применение логарифмов для вычисления всех последующих членов пуассонова
ряда избавляет от производства кропотливых действий умножения и деления.
Так, для получения второго члена, логарифм которого уже известен и равен
0,67948, к величине 0,67948 надо прибавить log 3,0204, т. е. 0,48007.
Сумма двух логарифмов равна 1,15255, отсюда частота -14,44. Для получения
третьего члена к значению логарифма 1,15955 надо снова прибавить log
3,0204, т. е. 0,48004, и отнять log 2, который равен 0,30103. Получим
1,33859, по которому определяем частоту третьего члена ряда, равную 21,81
и т. д. Все операции с помощью логарифмов можно проводить на одной
таблице, прибавляя и вычитая соответствующие логарифмы: ' ' ,
После вычисления теоретических частот для всех классов Распределения
составляется таблица, аналогичная табл. 72.
9 П. Ф. Рокнцкнй
257
Сумма величин последней графы ?Е^> и дает искомое значение
X(r). Если количество вариант, в каком-либо из крайних классов меньше 5,
следует объединить его с 1-2 соседними. Объединение должно быть проведено
одинаково как по фактическому ряду; так и по теоретически ожидаемому.
Число степеней свободы устанавливается тем же путем, как и при
биномиальном распределении (df=k-2). Так как все дальнейшие операции по
вычислению %2 просты, мы не даем специального примера на распределение
Пуассона.
Последним из 3 рассмотренных распределений является нормальное. При
непрерывной количественной изменчивости очень важно знать, в какой
степени полученный фактически вариационный ряд следует нормальному
распределению. Критерий хи-квадрат позволяет достаточно легко установить
