Сигнал о некоторых понятиях кибернетики - Полетаев И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Разумеется, такое «самостоятельное» существование сигналы ведут отнюдь не самостоятельно, а только в пределах некоторой организованной системы, по законам, свойственным этой системе. Самостоятельность заключается лишь в независимости от породившего сигнал события, после того, как сигнал возник.
Если мы имеем событие и его подробное, правдивое описание, то по описанию мы можем восстановить событие. Это происходит, например, при изготовлении машины по чертежу, постройке дома по проекту, выполнении военной операции по плану и т. д.
Итак, между событием и сигналом при некоторых условиях существует однозначная связь, взаимное соответствие, в пределах, задаваемых степенью подробности описания.
27
Изоморфизм
Взаимное соответствие физически разнородных явлений часто встречается и используется.
Возьмем в качестве примера геометрические объекты— линии, поверхности, тела—в эвклидовом пространстве, в котором мы сами существуем. Можно построить модели этих объектов, изобразить их на чертеже, представить себе их мысленно. Мысленно или реально эти объекты можно перемещать, видоизменять, сопоставлять и т. д., т. е. производить с ними некоторые операции. Мы можем, например, нарисовать на плоскости окружность определенного размера и пересечь ее прямой линией, определенным образом расположенной. Затем мы можем найти точки пересечения окружности и прямой.
Теперь сопоставим каждую точку плоскости с парой чисел х и у—координатами точки, например, в прямоугольной декартовой системе координат. Каждое число представляет собой расстояние этой точки от одной из осей.
Числа, удовлетворяющие уравнению
соответствуют точкам окружности, имеющей радиус R и центр в точке Хо = а\ уо = Ь.
Числа, удовлетворяющие уравнению
соответствуют точкам, лежащим на прямой, проходящей через точки:
Если уравнения (2.1) и (2.2) имеют общие решения (их может быть в действительных числах либо два, либо одно), то эти решения соответствуют точкам, лежащим одновре-
S^, fjX'jy+tfO
Рис. 2.1. Геометрический образ на плоскости (окружность н пересекающая ее прямая) н изоморфная аналитическая запись в виде уравнений в прямоугольных координатах.
(х — а)2 + (у — bf=R2,
(2.1)
(2.2)
и *" = —
28
менко и на окружности, и на прямой, т. е. точкам пересечения прямой с окружностью. Если мы решим оба уравнения совместно, то точки пересечения будут найдены нами аналитически.
Производя вычисления с числами хну, мы могли бы вовсе не думать о геометрических образах (и наоборот). Однако ясно, что любой геометрический образ и любая операция с ним имеют соответствующие образы в виде пар чисел и операции над ними. Мы ставим некоторую геометрическую задачу, затем переводим ее на аналитический «язык» и решаем эту задачу в числах, не вспоминая о геометрии. Дойдя до результата и снова переведя его на язык геометрии, мы получим тот же ответ, который получили бы, решая задачу геометрически—построением фигур. Мы получили правильный результат.
В математике существует понятие нзоформизма двух множеств X и Y элементов х €Х и у
Множества X и Y называются изоморфными, если выполняются следующие условия:
1) каждый элемент х$Х может быть взаимно однозначно сопоставлен с элементом ygK, т. е. х—+у и у-*х;
2) каждая операция f (из некоторого класса операций), преобразующая элемент хг$Х в х2?Х во множестве X, f(xl) — x2t может быть взаимно однозначно сопоставлена с операцией F, преобразующей элемент у^К в у2$У, Р(У\)=Уг> т. е. f-*F, F — f;
3) если хг$Х соответствует у,gУ и х2$Х соответствует у2сГ, если f(xx)=x2 п f-+Ff то для всех ху у, / -P(yi)=y2.
Два множества называются изоморфными, если их элементы попарно взаимно однозначно соответствуют друг другу и преобразования элементов одного множества соответствуют преобразованиям соответствующих элементов второго множества.
Если считать, что геометрические образы получаются непосредственно нз практики как результаты измерений и операций производства, то аналитические операции—вычисления с числами на бумаге—являются изоморфным изображением реальных явлений. Каждое событие—операция с реальными объектами (из определенного класса объектов и операций)—может быть сопоставлено с записью и вычислением. И, наоборот, каждая разумная запись может быть сопоставлена с событием, которое можно воспроизвести. Длинный ряд вычислений, проведенных по определенным правилам, воспроизводящим реальные операции,
29
Приводи!' к результату, который точно соответствует результату изоморфной этим вычислениям практической операции. Мы можем сопоставить оба результата и проверить правильность вычислений.
Можно назвать записи инженера, производившего расчет, сигналами реальных событий—операций производства. Система этих записей и вычислений изоморфна реальным объектам и операциям с ними. Можно говорить об изоморфизме теории и практики вообще, не только для геометрических построений, но и для других отраслей знаний.
