Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
7.7. Сочетание последовательных каналов регуляции
Рассмотрим теперь схему компартментальной модели открытой системы, в которой происходит сочетание последовательных механизмов, каждый из которых вносит свой вклад в регуляцию темпов поступления вещества (рис. 7.11).
Рис. 7.10. Появление параллельных ка-йалов регуляции прн линеаризации исходной нелинейной системы. При линеаризации сложной зависимости у от вектора переменных хт приращение А у определяется суммой приращений компонент с соответствующими коэф-
фициентами передачи i = l, 2, tn
Пусть сначала имеется обычная система с одним компартментом; в этом случае х\, v и w — скаляры. Стационарное значение Х\ и его чувствительность к v определяются обычными соотношениями
йх\ Ь
Ь . w
dv
ап
(7.43)
Покажем, что введение второго последовательного контура регуляции (с переменной состояния х2 на рис. 7.11) улучшает
Рис. 7.11. Введение после юваюльчыч механизмов регуляцил в компартментальной модели
открытой системы.
гомеостатические свойства системы, снижая чувствительность переменной Х\ к действию возмущающего сигнала v.
В этом случае w и v — по-прежнему скалярные величины, х = [х\ х%]т — вектор размерности 2.
Уравнение системы имеет вид
где
х = Ах -(- Bv + Rm,
=r:;: =:;]¦ *-[!]¦
(7.44)
(7.45)
Чувствительность стационарного режима к изменению v определяется формулой (5.68):
dx
dv
= — =
О-1 1^22 + Ч\2а2\
Г — 022 °12 1 Г ^ 1
L — ^21 — О п JLOJ
0Я2 Ь
ацагг + OiaOai
_________а?л Ь________
- о цОгг + о 12O21 -
(7.46)
Для обозначения кочичества последовательно включенных компартмеи-ток в cximc рис 7.11 будем использовать верхний индекс, так чго вектоо
размерности т будет обозначен х{"
Jin).
.[*f
<m)
Х„
<т)
Jm)
?•
(7.47)
Таким же индексом при необходимости будем обозначать размерность определителей и алгебраических дополнений матриц. Тогда из (7.43) и (7.46) для компоненты Х\ при п = 1 н п — 2 находим
dx
(И
dv
b
flu
dx
12)
dv
а и +
Q12Q21
022
Поскольку второе слагаемое в знаменателе (7.49) больше нуля,
dxf>
dv
dXU
dv
(7.48)
(7.49)
(7.50)
что мы и хотели показать.
Интересен предельный случай, когда коэффициент <222 = 0. В этом случае система сохраняет устойчивость, поскольку характеристические числа матрицы
ч
имеют вид Я, 2^=^-(— Оц ± д/а режиме согласно (7.46) получаем
— Дп —
021
012"]
О J
4aun2[), ReX<0, и в стационарном
dx
dv
-[I].
L al2 J
Чувствительность исходной переменной х\2) оказывается равной нулю, т. е. в системе обеспечивается абсолютная инвариантность переменной я®.
Общий случай. Покажем теперь, что в общем случае — при произвольном числе (m— 1) ступеней в схеме рис. 7.11 — добавление новой ступени снижает чувствительность стацио-
нарных значении всех переменных состояния х\ Уравнение системы в общем случае имеет вид
*(m-1) e А(т-\'х(т-\) + в(т-1) р + Rw
•(т-1)
где
х(т-1) ’» лт-1 *
(7.51)
yj(m-l) __
0]Т
Оц 012 --- 013 aU т---2 --- (7
021 --- о22 0 0 0
0 032 --- Озз 0 0
0 0 0 ат-1, т-2 ---я
t
‘1. т-1
Чувствительность переменных состояния определяется обычным выражением
b
dv
det Л<т
— Adj(m-‘>ali, ( = 1, 2, т- 1, (7.53)
где Adj<m-1,an — алгебраическое дополнение элемента ац в А(т~1\ Допустим теперь, что в систему введен дополнительный канал регуляции с номером т, и представим уравнение системы в блочном виде
+[т][т].
(7.54)
ГДе M(mX 1) — [ ^1. m 0 . . . 0]т, JV(ix*n) — [0 ... О Дт, т — i], ^(1X1) [ Ящт].
Тогда чувствительность вектора х<-т) определяется формулой
d*(m) г л<т-» М 1 Г В(т-1)
dv L * L ] L о
(7.55)
Для вычисления правой части (7.55) воспользуемся формулой (5.29), дающей выражение обратной матрицы для блочных матриц. Найдем матрицу (Л<т-о — ML~]N) Поскольку в матрице ML~XN отличен от нуля только элемент с номером (1 ,т), равный (— almam, m-i/dmm), имеем
(7.56)
(Л(Ш-1) _ Mi-'^) = л(т_1 \ mm J
0
0
0
0 ---а
тт _
