Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
разделить, то разница между параметрами и переменными становится иллюзорной, и такое разделение основывается, пожалуй, только на традициях и интуитивных представлениях исследователей. Одна и та же величина, описывающая биосистему, может выступать в одних случаях как переменная, в других — как параметр: Например, масса животного является параметром в задачах управления искусственным кровообращением и переменной— при исследовании онтогенетических процессов.
При описании биосистем с помощью математических моделей переменные и параметры биосистемы являются переменными и параметрами описывающих ее уравнений.
3.2. Динамические системы.
Схемы моделирования
Современные способы изображения биологических систем в виде графических схем ведут свое происхождение, с одной стороны, от традиционных изобразительных методов, используемых в биохимии, физиологии-^ других биологических дисциплинах [5, 9, 12, 49, 89, 234, 247], и, с другой, от структурных схем, получивших в свое время широкое распространение для программирования аналоговых вычислительных машин [42, 90, 228].
Применяемые в настоящее время схемы во многом сохраняют точность и строгость, присущие схемам аналогового моделирования, но при этом не предназначены для узких целей исследования систем с помощью тех или иных вычислительных средств, а имеют общий смысл наглядного представления структурных свойств и особенностей исследуемых моделей.
Для получения схемы моделирования какого-либо процесса или системы требуется их математическое описание. Такое описание объектов часто дается в форме дифференциальных уравнений k-ro порядка, разрешенных относительно старших производных, т. е.
d х
. k dz
l- = fi (Xu x[, x'l.............4*-»); ...; xm, x'm, x'm, .... x»-»; z),
(3.1)
t = 1, 2...........m,
где xi—переменная системы (зависимая переменная), z — независимая переменная, х\, х", . .., xf~l)— производные xi по г
от первого до (k — 1)-го порядка.
Систему уравнений (3.1) всегда можно представить в виде системы уравнений первого порядка.
Для этого достаточно ввести новые переменные
<3-2)
^У[, ft—2
**.ft-i““...dz....= х1 •
Тогда уравнения (3.1) принимают вид
dy i' ?_ |
dz У20, •••. У\, ft-ь •••; Уто> ^ml. Ут.к-\\ г)-
(3.3)
Вместе с системой уравнений (3.2) уравнение (3.3) и представляет собой систему, составленную из km уравнений первого порядка.
Поэтому всегда можно считать, что исследуемая система описывается уравнениями вида
dx,
—¦fi(xux2,...,xm;z), i—l, 2, т. (3.4)
dz
Если независимой переменной z является время t, то система дифференциальных уравнений (3.4), переписанная в виде
X === f i {Х\у Х2, • • * j */n> 0> ^ == 1• • • > 0*5)
называется динамической системой.
Динамические системы описывают протекание физических, химических, биологических явлений и процессов во времени. Если уравнения приведены к виду (3 4) или (3.5), то говорят, что они представлены в так называемой нормальной форме Коши. Решение системы (3.5) при некоторых ограничениях на вид функций f, полностью определяется значениями функций Xi, Х2, ..., хт в некоторый момент времени t0, которые называются начальными условиями системы (3.5). Начальные условия обычно записываются следующим образом:
*1 (Q — *ю,
х2 0а) = *20. (3.6)
*т (/о) == *т0"
Переменные х\, хч.....хт в (3.5) называются иногда фазо-
выми координатами системы. Задание совокупности фазовых координат определяет состояние системы в текущий момент времени.
Графические схемы, используемые для описания структуры системы, должны с той или иной степенью полноты отражать связи между ее фазовыми координатами. Различают несколько
а)
?jr±cT2
яуч
X,
Хг.
X
х^ • х,/х.
• '
\хг
X Г
(ШШХ) J > г
('или Г.71
iJyTv
х,/хг)
к?
Ч]>
е)
f(X,)
кг
mi
Х1
~^7[>
Ф
Рис. 3.2. Символы, используемые в схемах моделирования. В левом столбце—обозначения, наиболее часто используемые в схемах моделирования, в правой — обозначения, прнме» няемые для программирования аналоговых вычислительных машин, а) Суммирование (или вычитание); б) умножение (или деление), во втором случае па схеме желательно указывать делимое и делитель; в) интегрирующее звено; г) нелинейное преобразование; <Э) постоянные коэффициенты.
