Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
42 56 98 ---14
51 68 119 --- 17
:ы В = 36 У = 66 Z = ---6
II
со
о
2(Л---А)2 = 2 (В --- В)2 = 3200 2(У --- Y)(Z - II
О
г АВ = 0,84 rYZ = 0
§ 10. СВЯЗЬ МЕТОДА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ С МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИЕЙ
Для конкретности и простоты предположим, что мы рассматриваем случай с пятью переменными. Эти пять переменных можно соединить множеством различных путей; некоторые из них изображены' на рис. 4.10. Возможные корреляции между причинами здесь не показаны. Структура связей зависит от самого предмета, т. е. от физического или биологического смысла рассматриваемых переменных. Истинная структура связей для любого данного набора переменных обычно неизвестна, и установление ее — первая задача в предпринимаемом исследовании. Метод путевого анализа дает нам возможность проверить некоторые из наиболее вероятных схем причинности и оценить относительные достоинства каждой из них. В обычном уравнении множественной регрессии одна переменная выражается через все остальные. С точки зрения путевого анализа это эквивалентно выбору схемы причинности, приведенной
в нижнем правом углу рис. 14.10, где показан случай, когда одна переменная детерминирована четырьмя остальными. Если требуется предсказать зависимую переменную, то, вероятно, лучше всего воспользоваться уравнением множественной регрессии, чем какой-либо другой схемой причинности, приведенной на рис. 14.10. Говоря кратко, множественная
• -•
•4-•<-• •
ч -•
. • /К
t • • •
• м/
t •
A
• •
• X * • *-
t • <-
•
/\
• •
\/
•
<*>- •
•
•4--• •
---•
•
Рис. 14.10. Возможные зависимости между пятью переменными.
•Схема в нижнем правом углу, на которой одна из переменных выражена через все остальные, эк*
внвалеитна множественной регрессии.
регрессия используется главным образом для предсказания одной переменной на основании всех других, тогда как путевой анализ используется .для установления структуры или для интерпретации различных зависимостей.
Из приведенного выше обсуждения должно быть ясно, что множественная регрессия является частным случаем путевого анализа. Если в путевом анализе мы будем считать определенную переменную следстви-
ем, а все остальные — непосредственными причинами, то тогда путевой анализ и множественная регрессия приведут к одинаковым результатам. Рассмотрим обычное уравнение множественной регрессии
Y-У = Ь1(Х1-Х1) + b2(X2-X2) + b3(X3 — X3) + S, (47)
где S — «ошибка», средняя величина которой равна нулю _и которая не коррелирует ни с одним из х (рис. 14.6 без Z). Пусть y=Y—У, x-i = X\—Ai и т. д. Нормальными уравнениями, определяющими величины Ь, будут
Ь, Их\ + Ь2 х2 + Ь3 Их, х3 = 2х,г/,
Ьх Ех,х2 + Ь2 Ъх\ + Ъъ 2х2 х3 = %х2у,
Ь, хэ + Ь2 Их2 х3 -f Ь3 2х2 = ^х3у. (48)
Если в уравнении (47) нормировать переменные, то уравнение регрессии примет вид
у _ у, хх Ь2о2 х2 Ь3р3 *3 ps ^
Оу Оу СУ^ Оу CTg Оу CJg Оу C7<j
= Pi^-+P2^+Pb^ + s^-, (47*)
di (J2 <J3 as
где нормированный коэффициент регрессии pi является коэффициентом пути от Ii к У и т. д. В этом параграфе мы для удобства обозначим коэффициенты путей через р (от англ. path — путь). Тогда соответствующие «нормальные уравнения» примут вид
Pi р2 Г12 Рг Г13 = rYl>
Pi r\2 ~I~ p2 Рг Г23 = rY2>
Pi ri3 + p2 r23 + Рг = rYZ• (48*)
Это в точности соответствует тем результатам, которые мы получили из
путевого анализа в предшествующих параграфах (рис. 14.6 без Z; см. также выражения (39) — (42), учитывая смену обозначений). Следовательно, эти нормальные нормированные уравнения соответствуют общей теореме о том, что полная корреляция между двумя переменными равна сумме всех соединяющих их путей. Чтобы составить уравнение множественной регрессии по имеющимся данным, мы решаем уравнения (48) относительно величины Ь. Строя диаграмму путей, мы решаем уравнение (48*) относительно величин р, так как все корреляции заданы наблюдаемыми данными. Эти два набора решений совершенно эквивалентны, так как pi = bicri/cry и т. д.
