Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Недостаток этого метода оптимизации состоит в том, что реализуемые с его использованием оптимальные системы всегда уступают пр своим характеристикам оптимальным системам более широкого класса, на которые заранее не накладывается ограничение, связанное с заданием их структуры. Любые попытки улучшения характеристик систем с заданной структурой путем перебора систем, имеющих несколько более высокий уровень сложности, связаны с трудностями их аналитического математического описания при определении оптимальных значений более чем одного параметра (так как системы уравнений, которые
R
О—-AA/v* +
s(t)^N(r)
b =
RC
Рис. 9.1. Форма сигнала и система, максимизирующая отношение сигнал/шум: а — обнаруживаемый сигнал, 6 — частный вариант оптимальной системы.
должны быть решены для их определения, в редких случаях являются линейными), хотя вполне возможны численные методы решения соответствующих уравнений на ЭВМ. На практике методы аналитического решения обычно ограничиваются случаем одного параметра. С целью пояснения сути данного метода оптимизации рассмотрим два примера.
В качестве первого примера предположим ситуацию, когда наблюдается аддитивная смесь прямоугольного импульса, изображенного на рис. 9.1, а, и белого шума со спектральной плотностью N0. В силу того что форма сигнала известна, оптимальная система должна быть предназначена для обнаружения этого сигнала на фоне шума. Как было отмечено выше, при этом в качестве наиболее целесообразного критерия оптимальности должен быть выбран критерий максимума отношения сигнал/шум по мощности в некоторый момент времени на выходе этой системы. Это означает, что если s0 (/) — полезный выходной сигнал, а М (t) — выходной шум, средний квадрат которого равен М2, то требуется получить оптимальную систему, максимизирующую отношение si (i0)/M2, где t0 — момент времени, соответствующий максимуму этого отношения.
В методе подбора параметров структура системы считается заданной. Пусть в данном примере это будет простая #С-цепь}
изображенная на рис. 9.1, б. Параметром, для которого должно быть выбрано оптимальное значение, является постоянная времени ^С-фильтра тс = RC или обратная ей величина b — = 1/тс = 1 jRC. Один из первых этапов решения этой задачи состоит в выборе момента времени t0, соответствующего максимуму отношения сигнал/шум. Выбор требуемой величины t0 очевиден из анализа структуры полезного сигнала на выходе системы. Этот сигнал описывается выражением
_ / ЛП-expt-W]], 0 <*<7\
«о - [ А J1 _ ехр (_btJJ ехр — Г)], Т < / < оо
(9.1)
Рис. 9.2. Сигнальная компонента случайною процесса на выходе ЛС-фильтра.
и изображен на рис. 9.2. Этот результат может быть получен с помощью любого из методов анализа систем. Из рис. 9.2 следует, что выходной полезный сигнал максимален в момент времени t —
— Т, поэтому следует выбрать t0 -= Т. Таким образом, имеем
s0{t0) =- А (1 -ехр 1—ЬТ]). (9.2)
Выше неоднократно было показано, что для RC-цепи анали-
зируемого типа значение среднего квадрата выходного шума равно
M* = bN0/2. (9.3)
Следовательно, максимизируемое отношение сигнал/шум имеет вид
sliic) ^ А‘ (1—ехр 1~ЬТ]Г-М2 ‘ bN0!2
(9.4)
Прежде чем перейти к процедуре максимизации, следует отметить, что это отношение положительно для всех b > 0 и равно нулю для b — 0 и b — оо. Следовательно, должно существовать положительное значение Ь, при котором это отношение максимально.
Для определения этого значения b продифференцируем (9.4) по переменной Ь и производную приравняем нулю:
d fsg (*0)/ЛР} _ 2А2 26 (1 — ехр [—ЬТ]) Т ехр [—ЬТ] — (1 — ехр [—6Г])2 „
db N0 b2 - U‘
(9.5)
После упрощения это соотношение приводится к виду
2ЬТ + 1 - еьт. (9.6)
Это уравнение легко решается относительно неизвестной величины ЬТ методом «проб и ошибок» и приводит к решению
ЬТ х 1,256, (9.7)
откуда оптимальное значение постоянной времени RC-цепи определяется как
RC = Т/1,256. (9.8)
Следует отметить, что именно это значение постоянной времени i^C-фильтра обеспечивает максимум отношения сигнал/шум в момент времени Т.
Следующим этапом процедуры оптимизации является оценка характеристик фильтра, т. е. определение того, насколько высокими фильтрующими свойствами обладает данная RC-цепь. Эта операция легко реализуется подстановкой оптимального значения ЬТ, определенного в (9.7), в выражение (9.4) для отношения сигнал/шум. В результате получим
[ si (^)/ЛР]шах = 0,8145 А* Т/N о. (9.9)
Нетрудно заметить, что энергия в импульсе равна Л27\ так что максимальное отношение сигнал/шум пропорционально отношению энергии сигнала к спектральной плотности шума. Этот результат характерен для всех случаев максимизации отношения сигнал/шум при наличии белого шума. Имеются результаты, свидетельствующие о том, что в последнем случае, а именно при воздействии белого шума и при условии, что структура оптимальной системы не является заданной в противоположность тому, что полагалось выше, постоянная пропорциональности равна единице, а не 0,8145. Уменьшение отношения сигнал/шум, имеющее место в данном примере, может рассматриваться как плата за использование простого ^С-фильтра. Из данного примера видно, что при этом энергетические потери незначительны, хотя в других случаях они могут быть ощутимыми.
