Биофизическая химия. Том 2 - Кантон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Последний помещен в центре на оси цилиндрической пленки (рис. 13.20).
Условия Лауэ для оси а кристалла требуют, чтобы S • а = И. Рассмотрим
первые две дифракционные плоскости, которые появятся при h = 0 и h = 1.
Если производить измерения при такой геометрии,
РИС. 13.20. Геометрия эксперимента по рассеянию. Показан образец,
находящийся в начале координат, сечение обратной решетки, один вектор
рассеяния S (и связанное с ним рассеянное излучение) и две слоевые линии,
пересекающие пленку. Чтобы показать ориентацию образца, внизу, под
обратной решеткой, помещены три атома реальной кристаллической решетки.
Для наглядности мы в данном примере изображаем в (с соответствующей
величиной Х/2а) намного большим, чем это обычно наблюдается в реальных
экспериментах.
РЕНТГЕНОВСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
355
когда вектор S параллелен а, то длнна вектора рассеяния S равна 0 при И =
0 и равна 1/я при h = 1. Угол рассеяния рассчитывается из уравнения
(13.5); для h = 0 имеем sin в = О и, следовательно, в = 0. Для h = 1
имеем sin в = XIS1/2 = Х/2я. Следовательно, угол рассеяния между двумя
рассеивающими плоскостями 26 = 2 arcsin (Х/2я). Таким образом, если
измерен угол 6 и известна длина волны X, можно рассчитать величину я.
В типичном случае X и я могут равняться соответственно 1 и 10 А.
Следовательно, sin 6 = 1/20, или 6 ~ 3°. В обычной рентгеновской камере
цилиндрическая пленка имеет радиус 28,65 мм. Длина окружности есть 2тг •
28,65 мм. Угол между соответствующими точками на плоскостях И = 0 и h = 1
равен 2 6. Это 6°, или 6/360 длины окружности пленки. Поэтому расстояние
на пленке между двумя пересекающими ее плоскостями равно 2тг - 28,65 •
6/360 = 3 мм.
Отметим, что, хотя действительные расстояния в кристалле очень малы,
пленка помещается далеко от образца. Поэтому дифракционную картину можно
увеличивать до тех пор, пока соответствующие линии на пленке не будут
разделены расстоянием, удобным для измерений. В случае кристалла
неизвестной структуры все, что нужно проделать, - это произвести обратные
вычисления, чтобы найти я. Необходимое для этого уравнение имеет вид я =
X/2sin(360D/4ж г), где D - измеряемое расстояние на рентгеновской пленке,
а г - радиус камеры.
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ РЕШЕТОК
Реальные кристаллы трехмерны. Обратная решетка, которую мы видим в
картине дифракции, также трехмерна. Она связана с реальной
кристаллической решеткой достаточно простым образом. Определяя
пространственное распределение дифракционных пятен, можно рассчитать
размеры ячейки и форму обратной решетки. Отсюда можно вывести размеры и
форму элементарной ячейки реальной кристаллической решетки.
На рис. 13.21 показано, что каждый из векторов а *, Ь * и с *,
определяющих ячейку обратной решетки, располагается вдоль линий
пересечения двух плоскостей. Например, вектор с* лежит на линии
пересечения плоскостей, связанных с последовательными значениями И в
условии Лауэ а ¦ S = И (следовательно, эти плоскости перпендикулярны а),
и плоскостей, порожденных соотношением Ь • S = к (т.е. перпендикулярных
Ь). Это означает, что с * должен быть перпендикулярен одновременно и а, и
Ь, и в общем случае можно написать
с* = л" х Ь (13.74а)
b* = qc х а (13.746)
а* = pb х с (13.74в)
Константы в этих выражениях определяют величины векторов ячейки обратной
решетки. Для нахождения этих констант надо воспользоваться условиями
Лауэ, определяющими обратную решетку. Например, условие S • с = / дает
ряд плоскостей, разделенных расстоянием 1/с. Вектор с * заключен между
двумя такими плоскостями, хотя он не обязательно перпендикулярен им (рис.
13.21,/Г). Однако проекция с * на с должна быть равна 1/с (рис.
13.21,/>). Таким образом, мы можем написать
с-с* = |с|(1/с) = 1 (13.75)
Аналогичным образом можно показать, что а ¦ а* = 1 и Ь
• b' = 1.
Если (13.74) подставить в (13.75), то получим, что 1 = с
¦ с' = гс ¦ (а х Ь), откуда
можно оценить г. Выполняя то же для а * и Ь *, имеем
23*
356
ГЛАВА 13
1 а
РИС. 13.21. Геометрические свойства обратной решетки. А. Векторы обратной
решетки лежат на пересечениях рядов параллельных плоскостей. Например,
вектор с* заключен между двумя плоскостями, находящимися на расстоянии
1/1 с I друг от друга, но образован пересечением плоскостей,
перпендикулярных а (разделенных расстоянием 1/1 а I), и плоскостей,
перпендикулярных Ь (разделенных расстоянием 1/1Ы). Б. Иллюстрация того,
что векторы с* н с не обязательно параллельны.
г - 1/(с ¦ а х b) q= 1/(Ь ¦ с х а) р= 1/(а ¦ b х с) (13.76)
В соответствии со свойствами смешанного произведения трех векторов (см.
Дополнение 8.2) каждое из этих чисел равно объему параллелепипеда,
построенного на векторах а, Ь и с. Таким образом, г = q = р = 1/К, где V
- объем элементарной ячейки кристалла. Пользуясь выражениями (13.74) -
(13.76), можно построить ячейку обратной решетки, если известна
элементарная ячейка кристалла. Два примера этого приведены на рис. 13.22.
