Растровая электронная микроскопия и рентгеновский микроанализ. Том 1 - Гоулдстей Дж.
Скачать (прямая ссылка):
кривой (8.11), для которой мы должны оценить наилучшим образом ширину и
энергию. Рассчитанный спектр математически можно описать выражением
где AN - амплитуда, EN - энергия и on - параметр ширины для каждого пика
N и Е,-энергия каждого г-го канала в рассчитанном спектре. Ец, Ei я a,v
имеют размерности энергии (обычно эВ и кэВ). Нам нужно найти совокупность
амплитуд An, таких, чтобы имело место максимально близкое соответствие
между рассчитанным и измеренным спектрами. Содержание У, каждою канала в
измеренном спектре будет иметь ошибку А У;, обусловленную статистикой
счета Пуассона. Эта ошибка пропорциональна (У,)1'2. Так как каналы,
расположенные близко от центра пика, могут содержать значительно большее
количество импульсов, чем каналы, расположенные на спадах пика, на
практике обычно результат каждого канала вводится с коэффициентом, так
что любой канал имеет приблизительно одинаковое влияние в процедуре
подгонки. Весовой коэффициент Необычно выбирается таким образом, чтобы он
был пропорционален величине 1/(АУ/)2, которая равна 1 /У,-. Принцип
наименьших квадратов гласит, что "наилучшей" совокупностью параметров An
будет такая, которая минимизирует величину
наименьших квадратов
Yt = ^ ехР {-d/2) \(Ew - Et)loN\2},
(8.14)
(8.15)
где GNi-гауссова кривая - экспоненциальная часть в (8.11). Желаемую
совокупность AN можно найти следующим способом. Последовательно
продифференцируем уравнение (8.15) относи-
Практические методы рентгеновского анализа
125
тельно каждого Аы. В результате получим совокупность N уравнений вида
Приравнивая каждое из них нулю, получим систему уравнений (которые можно
назвать "совместными" уравнениями), что позволяет нам найти желаемый
минимум. Одним из способов решения системы уравнений является обратное
преобразование матрицы. Уравнение (8.16) можно записать в матричном виде
где Bmn=21GmiGniWi и Cm = y\GmiYiWi. Индексы тип относят-
ся к строкам и столбцам матрицы. Следовательно, мы можем найти
"наилучшую" совокупность амплитуд Аы из выражения
Следует отметить, что совокупность An получена аналитически. То есть мы
определили совокупность уравнений, дающих, после решения единственный
ответ, который "с наибольшей вероятностью" (в статистическом смысле)
является правильным. Свойство' аналитичности является основным различием
между линейными и нелинейными методами подгонки пиков. В нелинейных
методах у нас нет замкнутой системы уравнений, которую нужно решить. Мы
должны прибегать, например, к методам итераций или к поисковым
процедурам, чтобы получить, нужный ответ. Следует, однако, всегда
помнить, каким образом достигнута линейность. Мы сделали довольно четкое
предположение о том, что хорошо известны ширина и положение каждого пика
в наблюдаемом спектре. Определение этих параметров с требуемой точностью
вполне возможно, но это далеко не тривиальная задача.
В данном описании "рассчитанный" спектр строится из простых гауссовых
кривых. Можно было бы использовать и другие-функции, например слегка
модифицированную гауссову кривую, для учета небольших отклонений от
истинно гауссовой формы ни з коэ нС'ргет и чес ко й стороны наблюдаемых
рентгеновских пиков (описано в следующем разделе). Для построения
"рассчитанного" спектра можно было бы использовать справочные (измеренные
на образцах) спектры, а не функции. Наконец, как измеренные, так и
рассчитанные спектры можно было бы использовать после проведения цифровой
фильтрации. Основная-цель в применении цифрового фильтра заключается в
том, чтобы избавиться от среднего фона. При применении цифрового* фильтра
к спектру форма рентгеновских пиков изменяется от
(8.16)
[В]Х[Л] = [С],
(8.17)
[Л] = [В-1]хС.
(8.18>
126
Глава 8
почти гауссовой до кривой, описываемой сглаженной второй производной
гауссовой кривой (рис. 8.11). Ни применение цифрового фильтра, ни
использование функций, отличных от гауссовой, не влияют на "линейность"
обсуждаемого здесь метода. Во всех случаях определяемым параметром
является амплитуда пика, и она представляет собой линейный параметр даже
в случае спектров после цифровой фильтрации.
8.3.3.2. Метод коэффициентов перекрытия
Одним из простейших линейных методов является метод коэффициентов
перекрытия. В этом методе мы не используем весь спектр канал за каналом,
как это делали, например, при многократном линейном подборе кривой по
методу наименьших квадратов. Вместо этого мы суммируем содержание группы
соседних каналов, которые несут рентгеновский пик. Эту группу каналов мы
будем называть "интересующей нас областью". Большинство многоканальных
анализаторов обеспечивает способ (либо заложен в самом приборе, либо за
счет программирования) прямого разделения таких интересующих нас
областей. Расчет суммарной интенсивности в интересующей области
эквивалентен численному интегрированию методом Симпсона по области
спектрального пика. Следовательно, каждый рентгеновский пик можно
полностью охарактеризовать тремя числами - нижним и верхним пределами
