Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
В другой работе (Ebeling, Schmelzer, 1980) проблема сосуществования была исследована и для следующей кинетики:
В этой экологически ориентированной модели Y~' означает коэффициент прироста, служащий мерой того, какое количество исходного вещества требуется для увеличения концентрации X,-. Кинетика роста в данном случае — типа Михаэлиса—Ментен, т. е. при высокой плотности исходного вещества наступает насыщение. Кинетическое уравнение содержит член *_,Х?, моделирующий уменьшение роста при высоких плотностях сорта i в случае перенаселенности, болезни и т. д. Необходимое и достаточное условие сосуществования I сортов в рассматриваемом случае имеет вид
ktk\
ц,-Щ
< 4<’> <
fc/+ik[+i Mi+i ~ *i'+i
(6.112)
Рис. 6.18. Рост числа сосуществующих сортов в зависимости от подвода сырья: ki - к-i = 1; к\ = 1; = 2;
к', = 3; (а) # - 0,5; (6) # = 3,0; (в) Ф = 5,0
Отсюда ясно, что полученные в этом разделе результаты относятся не только к специальной модели, но и могут быть обобщены.
Еще одна возможность обобщения состоит в рассмотрении системы каталитических сортов с несколькими различными исходными веществами:
А,- +Xj 2Xj, X, -1f.
В модели с постоянным подводом исходных веществ соответствующие реакционнокинетические уравнения имеют следующий вид:
П
Aj = Ф, - XjkjjAj при *=1,...,т,
»' i=' ; <6113) Xi = XikijAj — ItiXi при * = 1,..., п.
з=1
Здесь kij ^ 0 — скорости, с которыми X,- воспроизводятся на основе исходных веществ Aj. Если требуется найти стационарные состояния системы, то должны выполняться равенства
т
Xi — 0 или ^>2kijAj = ki при * = 1, ...,п. (6.114)
у=1
Если мы рассмотрим состояние, в котором концентрации в сортов Xi отличны от нуля и перенумеруем эти сорта последовательными числами от 1 до в, то все стационарные концентрации могут быть определены из уравнений
т
53 bjAj = $ при * = 1,..., в,
j=i
Х,=0 при * = 5+1, (6.115)
У, Xjkji = ~ при * = 1,..., т.
;=¦ Ai
Рассмотрим теперь, как расположено решение в пространстве концентраций исходных веществ А{. Уравнения (6.115) определяют в этом пространстве (т — а)-мерную гиперплоскость (рис. 6.19). Если исключить s величин Xj, то останется (т — з) линейных однородных уравнений относительно l/Ai, определяющих 5-мерный гиперболоид в пространстве концентраций А{. Стационарному состоянию соответствует «точка пересечения» гиперплоскости и гиперболоида. Разумеется, это состояние имеет смысл только в том случае, если оно соответствует конечным положительным Ai и неотрицательным Xj.
Кроме того, ясно, что уравнения (6.115), вообще говоря, выполняются лишь при s < т. Это означает, что в системе, содержащей тп различных исходных веществ, могут сосуществовать самое большее т различных авто каталитических сортов; существует самое большее т «экологических ниш».
Исследуем теперь устойчивость. Матрица Якоби, соответствующая уравнениям (6.115), является сверхматрицей, распадающейся на три блок-строки:
(Jjj Jjn Ijm \
'Inл Jnn 'Ijim I • (6.116)
Jmn '1mm /
Рис. 6.19. Стационарное состояние сосуществования s сортов в пространстве сырья
Здесь блок-матрицы Jmm и J„„ диагональные, a Jnm, Jnj и J„ — нулевые матрицы. Если из характеристического уравнения для матрицы J выделить блоки с индексами а и яг, то для первых т + s собственных значений р характеристический многочлен имеет вид
det(M) = О,
где
Mii = ^(р+ 5)^ + SiiP,/m~'- (6.117)
Здесь
$
Sij = ^ ^ Xikftkij, t, j = 1,..., 77i, (6.118)
— неотрицательная симметричная матрица. Ее элементы 5,-у служат мерой того, насколько связан расход исходных веществ -4,- и Aj совместными пользователями Xi, I = 1,..., п. Для системы специализированных Xi матрица S диагональна. Нетрудно показать, что при а < т матрица S вырождена и положительно полуопределена, а при s = 771 линейно независимые векторы-строки матрицы к положительно определены. Зная это, можно спросить, может ли симметрическая, но не обязательно эрмитова матрица М для неотрицательных действительных частей собственных значений р иметь нулевое собственное значение. Применение к собственным значениям некоторых теорем о двусторонних оценках показывает, что уравнение (6.117) выполняется только для собственных значений р с отрицательными действительными частями.
Из блок-матрицы J„„ следуют последние (п — а) условий устойчивости:
