Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
Простой отбор и гиперотбор являются основными принципами самоорганизации. Они сыграли важную роль в процессе эволюции жизни на Земле.
Экстремальные принципы имеют особое значение в теории процессов отбора и эволюции. В математике понятие экстремального принципа трактуется весьма широко. Рассматриваемые экстремальные принципы носят специфический характер. В последующих разделах мы обсудим различные виды процессов конкуренции и отбора. Для этого полезно классифицировать важнейшие величины, экстреми-зируемые при отборе. Для наглядности мы ограничимся системами, содержащими только изолированные стационарные состояния; в принципе наш подход допускает обобщение на квазистационарные состояния и предельные циклы. Особенность рассматриваемых нами процессов состоит в том, что вектор состояния не может иметь отрицательных компонент: x(f) = {*,(<)}, X{(t) > 0, так как концентрации
и плотности не могут быть отрицательными. Вследствие этого динамика системы
должна развиваться так, чтобы вектор состояния не выходил из так называемого положительного конуса.
Пусть R — односвязная область в положительном конусе n-мерного векторного пространства Е*. Пусть на R определена векторная функция f, описывающая динамику вектора состояния и обладающая следующим свойством, о котором говорилось выше:
x = f(x,u), (6.1)
где а — множество параметров. В R могут оказаться особые точки х^; i—1,2,.. .,т; пусть ровно одна из них (х^) асимптотически устойчива в смысле Ляпунова:
f(x®, u) = 0 при * = 1, 2,... ,т. (6.2)
Для классификации экстремальных принципов процессов отбора мы предлагаем следующую терминологию: если на R определена непрерывно дифференцируемая по х функция G(x, х°, и), определенная так, что
a) L(x, xw, и) = [<?(х, х^, и) - G(x^, x<s\ и)] < 0 при всех х ф х^;
б) ~rL(x, х^*\ и) > 0 при всех х ф х^\х^2\ ..., х^т\ (6.3)
at
то G можно назвать динамическим экстремальным принципом на R. Функция L здесь, по существу есть не что иное, как функция Ляпунова. Если для особых точек из R функция F(xl-,\ и), t = 1,2,т, определена так, что неравенство
F(x{’\ и) > F(x{i), и) (6.4)
выполняется при всех * Ф в, то F можно назвать статическим экстремальным принципам на R. Если на R существует динамический экстремальный принцип G, такой, что
F(x®,u) = G(x®,x®,
— статический экстремальный принцип на R, то G можно назвать полным экстремальным принципом на R.
Для исследования процессов отбора наибольшее значение имеет вопрос о том, равна ли концентрация особей некоторого сорта нулю или она больше нуля, то есть представлен ли рассматриваемый сорт в системе или отсутствует. С математической точки зрения этот вопрос сводится к выяснению того, лежит ли конец вектора состояния на границе или внутри положительного конуса (рис. 6.1).
Важным подпространством положительного конуса является р-мерное положительное подпространство R?, dim(fl^) — р, в котором одни компоненты Xi,X2,...,хр > 0 всегда положительны, а все остальные считаются несуществующими. Рассмотрение такого подпространства представляет интерес и имеет смысл только тогда, когда
/.(х, и)*^,=...=*,=<> = О при *=р+1,...,п. (6.6)
В этом случае
х = f(x, и)
— замкнутая система уравнений в подпространстве R$, где а — набор параметров, осуществляющих взаимосвязь компонет xh ... ,хр в Т.
Сказанное относится и к неотрицательному подпространству Rp, dim(Rp) — р, в котором одни компоненты Х\, ж2> • • • > хр ^ 0 неотрицательны, а все остальные считаются несуществующими.
Условимся называть экстремальный принцип
а) принципом сегрегации, если он распространяется на все имеющие смысл положительные подпространства R%; (6.7)
б) принципом отбора, если он распространяется на все имеющие смысл положитель-
ные подпространства R^ и их объединения с неотрицательными пространствами R.f, соответствующими сортам, прошедшим отбор; (6.8)
в) принципом эволюции, если он распространяется на все имеющие смысл неотрицательные подпространства R.f. (6.9)
и) (6.5)
Рис. 6.1. Пространство концентрации химического вещества соответствует положительному конусу в евклидовом векторном пространстве
Определения (6.3)-(6.6) и (6.7)-(6.9) можно произвольным образом комбинировать друг с другом, в результате чего мы различаем девять различных принципов — от динамического принципа сегрегации до полного принципа эволюции. Некоторые из этих принципов включают в себя другие (см. схему).
Таким образом, существование любого из этих принципов гарантирует существование всех подчиненных ему принципов. Например, доказательство несуществования одного из принципов влечет за собой вывод о несуществовании всех предшествующих ему общих принципов. Если установлен полный принцип эволюции, то тем самым известны качественные свойства всех возможных процессов отбора и эволюции рассматриваемой модели.
