Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
n(r, t),
зависящего от точки пространства и времени. В однокомпонентных жидких системах параметр порядка можно отождествить, например, с плотностью, а в бинарных системах —, с мольной долей (Паташинский, Шумим, 1979; Allen, Cahn, 1979). Для соответствующей термодинамической функции (например, свободной энергии) получаем
Здесь первый член описывает вклад локальных плотностей, аналогичный формуле
(3.57), а второй член — влияние неоднородности. Далее мы предполагаем в духе линейной термодинамики необратимых процессов Онсагера, что
где т — время релаксации, а б означает вариационную производную. Из соотношения
(4.15) следует уравнение типа реакции с диффузией
соответствуют стационарным и пространственно однородным решениям задачи. Иначе говоря,
— решение уравнения (4.16), удовлетворяющее подходящим краевым условиям. Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных (4.16), выведенное для описания термодинамических структур, играет весьма важную роль в физике процессов эволюции. Первое фундаментальное исследование уравнения (4.16) было выполнено в основополагающей работе Колмогорова, Петровского и Пискунова «Изучение уравнения диффузии с источником вещества и его приложение к биологическим проблемам» (1937). Мы еще неоднократно вернемся к этому уравнению, а пока приведем лишь одно его частное решение, описывающее движение фронта между двумя фазами nt и п3. Предположим, что плотность свободной энергии имеет два минимума и что, соответственно, распределение источников имеет вид, показанный на рис. 4.3.
Решение, соответствующее движущемуся между двумя фазами в направлении положительной полуоси z плоскому фронту, имеет вид
Здесь v — скорость фронта, щ(г) — переходная функция, вид которой схематически представлен на рис. 4.4. Приближенно выполняются следующее соотношения:
Я[«] = J dV [r(n(r,<)) + jD*(Vn(r,*))2] .
(4.14)
(4.15)
dtn(r, t) = w(n(r, f)) + DAn(r, t),
(4.16)
Здесь W(n) — как правило, нелинейная функция, нули которой
»1 ¦ »1) »з> • ¦ •
я(г, t) = щ
(4.17)
n(z, t) = По(z - vt).
(4.18)
Рис. 4.3. Термодинамический потенциал и функция источника уравнения реакции с диффузией при изменении параметра порядка во времени и в пространстве
Рис. 4.4. Качественных ход расплывания плоского фронта, описывающего распространение границы фаз
Величины «о и /о соответствуют скорости фронта и ширине фронта для случая, когда W — полином 3-й степени. Приближения (4.19) могут, таким образом, быть применены в том случае, если W между нулями, по крайней мере приближенно, можно представить с помощью кубической зависимости. Для сферического (d = 3) или цилиндрического (d = 2) фронтов положение фронта описывается решением дифференциального уравнения
D
R
Существует критический радиус, соответствующий остановке фронта
(4.20)
(4.21)
Локально распространение фронта в точке г можно описать с помощью локальной кривизны К = R~l .и локального вектора нормали N, задав зависимость, соответствующую кубическому закону (Ebeling, 1986):
n(r, t) = п, + (п3 - n,) ?l + exp [iVr - v01 + (d - l)DtK] || . (4.22)
Более точный анализ исходит из разложения в ряд по теории возмущений относительно предельного случая сильной нелинейности (т. е. больших W) (Diehl et al., 1980;
Bausch et al., 1981; Kawasaki, Ohita, 1982; Engeletal., 1986).
Введем переменную z — среднее направление распространения фронта и переменную х, отсчитываемую в перпендикулярном направлении (рис. 4.5). Тогда в главном порядке теории возмущений мы получаем для локального профиля фронта выражение
п(х, z, t) = щ
Z - /(ж, <)
где
V*- + (V/)2 9tf(x, t)
+ (v/)2
(4.23)
Рис. 4.5. Зависимость локальной скорости фронта от кривизны в случае искривленного фронта
= v+DK,
причем
K = V-
V/
(4.24)
\Л + (V/)2 снова означает среднюю кривизну.
Как показывают приведенные выше уравнения, движение фронта между двумя фазами может иметь весьма сложный характер. В невозмущенном случае участок фронта, опережающий остальные, тормозится, а отстающий участок ускоряется, в результате чего в среднем наблюдается эффект сглаживания фронта (рис. 4.5). Влияние регулярных или стохастических, неупорядоченных возмущений можно учесть, включив в правую часть уравнения (4.16) дополнительные источники. Ряд авторов исследовал влияние таких возмущений (Ефетов, Ларкин, 1977; Nattermann, 1982, 1984; Mikhailov et al., 1983; Schimansky-Geier et al., 1983; Фейгеяшан, 1983; Гуревич, Минтц, 1984; Engel, Ebeling, 1987).
