Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
6. Тепловой поток за счет теплопроводности вдоль и поперек магнитного поля пренебрежимо мал, так что справедливо адиабатическое уравнение состояния идеального газа.
7. Проводимость плазмы бесконечна, а возмущения достаточно длинноволновые, поэтому обобщенный закон Ома можно привести к виду E_l+[V и В]/с = 0, в котором члены Vp и т. д. отброшены, так как они малы по сравнению с E1 и [V X В]/с, что и объяснялось в гл. 3.
9.4. Граничные условия
Если плазма должна быть изолирована от окружающих стенок магнитным полем, то наиболее вероятно, что она будет окружена вакуумной областью. Следовательно, должна существовать переходная область, в которой плотность плазмы спадает до нуля. Переход плазма — вакуум может либо иметь резкую границу, либо быть растянутым на конечное расстояние, в пределах которого свойства плазмы плавно изменяются. В любом случае для решения уравнений плазмы необходимо сшить значения величин по обе стороны от границы.
Граничные условия выражаются в виде скачка плазменных переменных при переходе через границу. Такой скачок обозначается символом [[ J. Единичный вектор нормали к поверхности раздела обозначим через п. Таким образом, выражение п*[[ VJ = O означает, что нормальные компоненты скорости по обе стороны границы равны друг другу. Скачок магнитного поля при переходе через границу связан с поверхностным током Js, текущим вдоль границы. Представляют интерес три типа поверхностей раздела: граница плазма — плазма, плазма — вакуум и плазма — идеально проводящая твердая стенка.
Граница плазма — плазма
(j P+"J"" IrriO справедливо в случае малой кривизны, (5.9.29)
в противном случае см. п. 8.2 гл. 3,
11 • Ц V J = 0 справедливо, если [ pm J = 0, но неверно
для МГД ударных волн, для которых п*|[рш^1 = 0,
(5.9.30)
(5.9.31)
(5.9.32)
(5.9.33)
n.[B] = 0f nx|[B]=^Je.
200
ГЛАВА 5
Граница плазма — вакуум
(5.9.34)
(5.9.35)
(5.9.36)
(5.9.37)
(5.9.38)
MpVJ = O,
п-[В] = 0
Граница плазма — идеально проводящая твердая стенка
п х E = 0,
(5.9.39>
(5.9.40)
(5.9.41)
п.V = O.
Если на границе раздела имеется поверхностный ток, но отсутствует поверхностная плотность массы, то скалярное произведение п*[[В| должно обращаться в нуль, так как нормальная компонента магнитного поля вызвала бы бесконечное ускорение поверхности.
§ 10. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ,
УДЕРЖИВАЕМОЙ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ. АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ (ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ)
Рассмотрим конфигурацию, схематически показанную на фиг. 96. Изотропная плазма находится в магнитном поле, направленном по оси z [B0 = zB0 (г/)], и гравитационном поле, направленном по оси у (g0 = — У?о)* Предположим, что распределение плотности плазмы и изменение магнитного поля по оси у удовлетворяют условию равновесия (5.9.12), т. е.
Динамика плазмы при малых отклонениях от этого равновесного состояния
W (^+ж) = -JWo-
(5.10.1)
У
; Плазма с равновесными градиентами плотности
определяется дифференциальным уравнением (5.9.28) для скорости. Для простоты будем считать, что все величины не зависят от z и что зависимость возмущения скорости от координат и времени имеет вид
V1 (я, г/, г) = \Ае-ш =
= (xVix+yViy)e-'»*. (5.10.2)
Записывая уравнение (5.9.28) для х-и [/-компонент возмущения скорости, имеем
Фиг. 96. Система координат, используемая при исследовании устойчивости плазмы, удерживаемой магнитным полем в поле
л д
— W2Pm0Fi * = -fa [(V0IeV) Po~h У Po X
силы тяжести.
X(V-V1)]--^Ц^ВЛу) (5.10.3)
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
20*
-W2PmoFly — -щ- [(V1 -V) Po + TPo (V -Vi)] —
—Tn Hy ^lz^0 (у}} I(Vl-V) Pmo + Pmo (V-V1)] g0. (5.10.4)
Величина Qlz представляет собой z-компоненту вектора Q1, определяемого выражением
Qi = VXIV1XBoI. (5.10.5)
В настоящем примере вектор Q1 имеет ТОЛЬКО Z-КОМПОНЄНТу, Т. е. Q1 = zQiZt где
Qiz = - V-V1^0 = - [(V1. V) B0 (у) + B0 (у) V • V1I. (5.10.6)
С учетом определения Qlz [выражение (5.10.6)] и условия равновесия (5.10.1) уравнения (5.10.3) и (5.10.4) принимают вид
— Pm0W2^l* + (Pmogo)[(т + -§~) (V-V1)] (5.10.7).
И
Pm0CO2F,,-PmoSo-^= --^[(уро + ^г) (V-V1)J-Pmogo(V-V1). (5.10.8)
Из уравнений (5.10.7) и (5.10.8), исключая из них член (ур0 + ByAn) VV1, имеем
dViX . f7 I дрт0 (л , go I dpmo \ у ______________ go д , . /cS 10
~5Г + Уіхь^^у----------+ )^Г-IF v*)- (5ли-У)
Данное уравнение не может быть решено, поскольку в него входят два неизвестных. Дополнительное соотношение между Vlx и Vly можно получить либо из (5.10.7), либо из (5.10.8). Однако в действительности обычно в качестве второго уравнения для (5.10.9) используют приближение VeV1 = = 0. Оно соответствует либо предположению о несжимаемости плазмы, либо рассмотрению определенных типов возмущений, которые не меняют плотности плазмы. Это можно выяснить, разрешив уравнение (5.10.7) относительно V-V1, т. е. записав выражение
•7Т7 і PmOco2^r Ix/ik~h 9m0g0Viy п л
'W'*+-,--------------Tft+8j/i,-------• <51010>