Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
здесь величина V1 определена следующим образом:
%(*, У) = V1Meih*.
Имеются два предельных случая, когда VeV1-^O, а именно при
1) у оо (несжимаемая жидкость или возмущения с k-V1 = 0),
2) 2?02->оо.
Использование уравнения VeV1 — 0 для анализа гидромагнитной неустойчивости оправдано в тех случаях, когда среда, описываемая МГД-уравнениями, действительно несжимаема (например, жидкая ртуть), и в тех случаях, когда возмущения выбраны таким образом, чтобы плазма не сжималась. В этом втором случае равенство VeV1 = 0 не является приближенным. Третий случай, когда справедливо указанное упрощение, имеет место в плазме с низкими значениями (5, причем равенство VeV1 = 0 часто вытекает из неравенства р В2/8п. Такое приближение необходимо проверять с помощью полученных решений, поскольку условие VeV1 = 0 не представляет собой общего свойства плазмы.
202
ГЛАВА 5
Подстановка выражения ikVlx + dVly Іду = Ob (5.10.9) приводит к дифференциальному уравнению, описывающему динамику плазмы, находящейся в состоянии равновесия (фиг. 96):
— -%22-) + = (5.10.11)
dy2 V PmO dy I dy \ со2 pm0 dy ) iy ' '
Решение уравнения (5.10.11) можно получить в некоторых простых случаях.
10.1. Экспоненциальный профиль ПЛОТНОСТИ [(l/pm0) (dpmoldy) = const]
В данном случае нетрудно получить ограниченное всюду решение, считая (PVlyIdy2 = dVlyldy = 0; уравнение (5.10.11) принимает вид
Нетривиальное решение (Vly Ф 0) есть
Это решение не было бы собственным значением, если бы зависела от у величина (l/pw0) (дрт0/ду).] Если dpm0/dy>0, т. е. плотность плазмы возрастает в направлении, противоположном направлению силы тяжести, то плазма неустойчива, а ее инкремент w* = [(go/pmo) (^Pmo^)]1/2* Если dpm0ldy<zO, т. е. плотность плазмы возрастает в направлении гравитационной силы, то плазма устойчива. Возмущенная плазма колеблется с частотой ог =
= Г(?„/Р то ) (dpmo/dy)]1'2.
10.2. Плазма с резкой границей
В случае когда рт0 = const при у > 0 и рт0 = 0 при у < 0, в плоскости у = 0’имеется резкая граница плазма — вакуум. Дифференциальное уравнение при у > 0 записывается в виде
d^f-KViy = O. (5.10.14)
Решение, которое стремится к нулю при у — +оо, имеет вид
Vlv = Vlye-**.
Граничное условие при у = 0 дается выражением
^f-=Prmb(U)- (5.10.15)
При у = 0 дифференциальное уравнение (5.10.14) преобразуется к виду
^g0Vu = O. (5.10.16)
Поскольку Vly = Vlye~hxV, плазма неустойчива, а ее инкремент
= (5.10.17)
Инкремент зависит теперь от длины волны начального возмущения. Коротковолновые возмущения нарастают наиболее быстро.
Задача 5.10.1. Обсудите физические эффекты, которые были опущены в МГД-модели при выводе уравнения (5.10.17) и которые препятствуют неограниченному возрастанию инкремента при Axоо.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
203
X , ///?“///////
Твердые стенки (х=Ь) Тяжелая жидкость (х>0) рг
(х = -а) у Легкая жидкость (х< О) рг
’/////У///У/У/7, У77У УУ УУ У У У У У /
Фиг. 97. Схематическое представление тяжелой несжимаемой жидкости, поддерживаемой снизу в поле силы тяжести более легкой несжимаемой жидкостью.
Задача 5.10.2. Рассмотрите конфигурацию, схематически показанную на фиг. 97, при которой несжимаемая жидкость с плотностью р2 поддерживается несжимаемой жидкостью с плотностью P1 (р2 > pi). Покажите, исходя из гидродинамических уравнений
ЯР 77
V-PmV = O
И
что
dt
д\ л ~ P -Jf= -VP-Pmg0X,
(О2 =
(5.10.18)
(5.10.19)
р2 cth kb + pi cth ка (5.10.20)
если величины p2/pi> ка и кЪ
kgp (P2-Pl)
И, следовательно, инкремент (Di много больше единицы.
Задача 5.10.3. Прочтите текст в работе [7] *) и восстановите промежуточные выкладки при выводе критерия устойчивости поверхности пинча в продольном магнитном поле. В частности, покажите, что, если внешнее продольное поле Bz МНОГО больше внутреннего ПОЛЯ Bi, условие устойчивости бесконечно длинного пинча записывается в виде
(О
тШ
Anpa2 \ Я'2 + В\
•171
)¦
(5.10.21)
где а — радиус пинча, а азимутальная зависимость возмущения выбрана в виде ехр (ітд).
Если Bi = B2
ш = i?2fBHyTP, то выражение (5.10.21) показывает, что имеется неустойчивость (винтовая неустойчивость) относительно возмущения с т = 1 и что пинч устойчив относительно возмущений ст>2. В пинче конечной протяженности на длине плазмы вдоль ее оси должна укладываться половина длины волны, поэтому критерий устойчивости пинча длиной L имеет вид
Bq 2 па
ГёГ<_Г“
и называется критерием Крускала — Шафранова. Это условие является необходимым и говорит о том, что для устойчивости угол кручения силовых линий магнитного поля должен быть больше чем Ы2па.
х) Cm. также [22*].— Прим. ред.
204
ГЛАВА 5
§11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП
В предыдущем параграфе мы изучали гидромагнитную устойчивость плазмы, удерживаемой магнитным полем в поле силы тяжести, используя метод собственных колебаний. Для рассмотренной простой конфигурации оказалось возможным решить уравнения плазмы и таким образом получить полную картину неустойчивостей, т. е. найти инкременты и модовый состав неустойчивостей. В случае более сложных конфигураций плазмы решение задачи о собственных значениях не всегда осуществимо.
