Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
равен —, где т = Следовательно,
T с
-4(1 +-f-)—г+ const.
откуда С = — 2т.
Окончательно можно написать
^ = (1 -^-)-', (5,8,5)
Таким образом, квадратическая форма
ds2 = - (1 — у1 dr2 — Affi1 - г2 sin2 Gdqj2 + (1 — dt2
(5,8,6)
представляет собой решение уравнений поля, отвечающее всем поставленным условиям; оно называется внешним решением Шварцшильда.
Отметим, что в соответствии с принятым условием соотношение (5,8,6) при Г OO стремится к линейному элементу СТО, который в сферических координатах имеет вид (5,8,2). При этом переменная г имеет нижнюю границу 2 /л, поскольку при меньших значениях квадратическая форма (5,8,6) изменяет сигнатуру. Эта граница называется гравитационной сферой тела. В системе CGS гравитационный радиус равен
г,--(5.8,7)
Для солнца rg = 2,9 • IO5 см. Для известных в настоящее время небесных тел понятие гравитационной сферы имеет лишь формальное значение, поскольку линейные размеры тел в огромное число156
Г лава V. Общая теория относительности
раз превосходят их гравитационные радиусы, вычисленные по формуле (5,8,7).
Обобщенные уравнения поля (5,5,17), дополненные космологическим членом, для пустого пространства имеют вид
Rii--^giiR+Agii = Q.
Умножая эти уравнения Hag^ и выполняя свертывание, находим соотношение между инвариантом тензора Риччи и космологической постоянной R = 4Л. Поэтому уравнения можно написать в форме
Ril = Л glh (5,8,8)
Сохраняя условие сферической симметрии и пользуясь полученными значениями компонент тензора Риччи, имеем, вместо (5,8,4), следующую систему уравнений:
2 4 ' 4 г »
е-«
1 + ' (?'-a')|-l = -Ar2;
-t + iJl-^-il-ЛЛ (5.8,9)
Решением этой системы, как нетрудно убедиться, являются функции
eH1 +-T1-TaV' 4-АГ2).
Вследствие малости космологической постоянной членЛ г2
при не очень больших г должен быть весьма мал, и поэтому полученное решение должно совпадать с (5,8,5). Поэтому следует положить С = 1, С = — 2т. Таким образом,
= —2^---Лг2 j""1; * = 1 - (5,8,10)
Обобщенная квадратическая форма Шварцшильда имеет вид
ds2 = - (1 - — Ar2^1 dr2 - rW -
— г2 Sin2 8Жр2 + [ 1 - --i. Ar2^j dl\ (5,8,11)
В отличие от (5,8,6) решение (5,8,11) применимо к значениям переменной г, ограниченным не только нижней (rg ^ 2т), но также верхней границей. С точностью до величины порядка т последняя
равна j/зд-1.9. Внутреннее решение Шварцшильда
157
Отметим также, что обобщенное решение Шварцшильда в отсутствие центрального тела не переходит в квадратическую ({юрму СТО: при т = О геометрия пространственно-временного континуума остается римановой.
9. Внутреннее решение Шварцшильда. Для приложений ОТО представляет также интерес внутреннее решение Шварцшильда [181, характеризующее поле гравитации внутри тела со сферическим распределением массы. Особенно большое значение это решение приобрело в связи с развитием теории внутреннего строения сверхплотных звезд, к которым закон тяготения Ньютона неприменим.
Рассмотрим прежде всего случай, когда сферическая конфигурация состоит из несжимаемой жидкости с постоянной собственной плотностью рис давлением р, зависящим от расстояния до центра сферы.
Согласно (5,4,4), ковариантные компоненты тензора энергии-импульса определяются формулами
Тц = (р + р) j^r -^Г Sougfii — Рёц-
Поскольку макроскопических движений в веществе нет и квадратическая фіорма, удовлетворяющая условию сферической симметрии, имеет вид (5,8,3), отличными от нуля являются лишь диагональные компоненты этого тензора
Tii^(9 + P)[d^ Sfi-PSi^
дх*
Четырехмерная скорость -^-сводится к последней составляющей,
дх1
которая находится из квадратической формы при = 0, і = 1,2, 3; эта составляющая равна — = . Следовательно,
Tii=Zpea, pr2t Jor2Sin2 6, pe?.
Скаляр тензора энергии-импульса вычисляется по формуле Г = = = р - 3р.
Составим уравнения поля в форме (5,5,16). С этой целью воспользуемся компонентами тензора Риччи, вычисленными в предыдущем параграфе применительно к линейному элементу (5,8,3). Выполняя соответствующие подстановки, получим систему трех уравнений
?" a'?' , ?'2 a' . ч
-?---4-+4---г=-4яеа(р-р);
ТГ + -®-2Г--7г = 4яеа(р-р);158
Г лава V. Общая теория относительности
Jf-^ + .tL + f.^ + rt.
Уравнения, отвечающие і = / = 2 и і = / = 3, совпадают. Эту систему удобнее представить в несколько иной форме. Сложив первое уравнение с третьим, получим
Вычитание тех же уравнений дает
Комбинируя это соотношение со вторым уравнением системы, находим
1 , P' о w* 1 , <*' , 6а о _
TT + 7---^r = Snpea] __+_+_==8яре*
Таким образом, систему уравнения поля можно написать следующим образом:
8 ир = ^-^ + ^-^); 8 + (5,9,1)
=«-'CT+ TT-
Отметим, что условие несжимаемости до сих пор не учитывалось и потому полученная система уравнений применима также к конфигурации, состоящей из сжимаемой среды.
В случае р = const, рассмотренном в упомянутой работе Шварц-шильда, интегрирование системы (5,9,1) не вызывает затруднений. Последнее уравнение после умножения на г2 принимает вид 8ярг2 = = (г — ге~аУ и дает