Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Кристаллическую структуру, обладающую транслнционной симметрией, можно
получить путем периодически повторенной в пространстве элементарной
ячейки (элементарной части) кристалла., которан должна удовлетворить двум
условинм: а) при размножении элементарной нчейки векторами транслнций
покрыва-етсн все пространство, занимаемое кристаллом; б) элементарней
нчейка имеет минимальный объем. В общем случае элементарней нчейка имеет
форму параллелепипеда (рис. 1.2). С каждым узлом элементарной нчейки
свнзана некоторан группа ато-Рис. 1.2. Базисные векторы и элемен- МОВ
баЗНС.
тарный параллелепипед Определим операцию транс-
ляции как бесконечное преобразование симметрии, которое производит
перенос гомологичных (соответственных) точек на определенное расстонние в
трехмерном пространстве кристалла. Вектор транслнции свнзывает между
собой положении любых узлов решетки:
R = ща + щЪ + газе, (1-3)
где щ, П2, п-з - произвольные целые числа. Тогда можно ввести три вектора
основных (элементарных) транслнций таких, что при
1.3. Точечная и пространственная симметрия
И
рассмотрении из точки г атомнан решетка будет иметь тот же вид, что и при
рассмотрении из точки г':
г' = г + п\а + щЪ + газе. (1-4)
Основные или базисные векторы транслнций иногда обозначают также в виде
aj, а2, аз. Совокупность точек г' при различных значенинх чисел raj, 112,
п3 определнет пространственную решетку, представлнющую собой регулнрное
периодическое расположение точек в трехмерном пространстве. Тогда можно
записать определение:
Решетка + Базис = Кристаллическая структура.
Векторы элементарных транслнций обычно сопоставлнют с ортами
кристаллографической системы координат, в общем случае, косоугольной.
Если узлы решетки находнтсн только в углах элементарного параллелепипеда,
он называетсн примитивным (см., например, рис. 1.2).
"Решетка дает нам размер и форму повторнющейсн единицы структуры, ее
элементарную нчейку, но не определнет, каково же расположение вещества
внутри самой элементарной нчейки. На первом этапе это и не важно.
Стальной остов здания должен существовать прежде, чем начнется обсуждение
внутреннего убранства или меблировки" (К.Лонсдэйл, 1952). Продолжая эту
мысль, можно уподобить кристалл многоэтажному зданию, одинаковые квартиры
которого единообразно заполнены одинаковыми мебелью и деталями
внутреннего убранства.
Таким образом, для описания структуры конкретного кристалла необходимо:
- определить кристаллическую решетку;
- выбрать кристаллографическую систему координат;
- найти базис;
- установить набор преобразований симметрии, совмещающих кристаллическую
структуру саму с собой.
1.3. Точечная и пространственная симметрия
В физике твердого тела очень важную роль играет понятие геометрической
симметрии. Вообще, геометрической симметрией кристаллического
пространства (или фигуры) называется свойство пространства (фигуры)
совмещаться с самим собой после выполнения некоторых симметрических
преобразований.
Операции, или преобразования симметрии - это отражения, вращения,
переносы (трансляции), приводящие пространство (фигуру) в совмещение с
самим собой.
12
Гл. 1. Структура и симметрия кристаллов
Элементы операций симметрии образуют множество (конечное или
бесконечное), которое называетсн группой симметрии. Множество элементов
называется группой, если для этих элементов выполняются следующие
условия:
1. На множестве элементов G задан закон умножения элементов, т.е. если
элементы д\ и д2 принадлежат данному множеству (</1 G G, д2 G G), то их
произведение также принадлежит множеству G (д 1 X </2 = 9з G G).
(Подчеркнем, что слово "умножение" и символ "X" необходимо понимать не в
арифметическом, а в алгебраическом смысле, т.е. это некоторая операция
над элементами множества.)
2. На множестве элементов G задан единичный элемент е G G такой, что
выполняется дхе = ехд = д.
3. На множестве элементов G для каждого элемента д G G имеется ему
обратный д-1 G G, так что д X д-1 = е.
4. Выполняется закон ассоциативности: д\ X (д2 X д3) = (дi X X 92) X дз-
Бесконечный набор векторов трансляций, при переносе на которые кристалл
совмещается сам с собой, образует трансляционную группу.
Кристаллические структуры имеют два типа симметричных преобразований:
1) точечная симметрия; 2) пространственная
симметрия.
Точечной группой симметрии называется совокупность точечных операций
симметрии, совмещающих решетку саму с собой. Общее число независимых
точечных групп симметрии кристаллов - 32. Эти группы содержат конечное
число элементов.
Совокупность элементов точечной и трансляционной групп симметрии образуют
пространственную группу симметрии. Общее число независимых
пространственных групп симметрии кристаллов - 230.
1.3.1. Операции и классы точечной симметрии. Точечная симметрия
описывает макроскопическую симметрию внешних форм кристалла и симметрию
его макроскопических свойств (упругости, диэлектрических свойств и др.).
Операции точечной симметрии оставляют неподвижной одну точку
