Физика полупроводниковых приборов - Зи С.М.
Скачать (прямая ссылка):
случае полупро-водвикдв с "непрямой" запрещенной зоной |(на1пример,
германий) при больших смещениях, таких, чтобы максимум валентной зоны
а) б)
Рис. 8. Туннелирование.
а - случай прямого туннелирования- Зависимость E{k) наложена в
характерных точках (-Х\ и хг) на картину туннельного перехода в Е-х
координатах; б - случай непрямого туннелирования, когда ^мин^^макс.
(точка Г) [Л 8] находился .на одном уровне с "непрямым" минимумом зоны
проводимости '(точка Г). Непрямое туннелирование происходит тогда, когда
.минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны имеют разное
значение импульса (рис. 8,6). Изменение импульса происходит за счет
взаимодействия с каким-либо .рассеивающим агентом, таким, как фонон "ли
частица примеси. При туннелировании с участием фононного взаимодействия
необходимо, чтобы и энергия я момент были неизменными, т. е. необходимо,
чтобы-сумма энергии фонона и первоначальной энергии электрона,
туннелирующего с n-стороиы на д-сторону, равнялась конечной энергии
электрона после туннелирования и сумма начального значения .момента
электрона и момента фонона (hkv) равнялась конечному значению момента
электрона после туннелирования. В случае, когда возможно прямое
туннелирование, вероятность непрямого туннелирования много меньше, чем
вероятность прямого. Кроме того, вероятность (непрямого туннелирования с
участием нескольких фоно-нов много меньше вероятности туннелирования с
использованием одного фонона.
2. Вероятность туннелирования и туннельный ток. Если электрическое
поле в полупроводнике достаточно велико (около 106 в/см), то в этом
случае существует конечная вероятность квантового туннелирования или
прямого возбуждения электронов из валентной
зоны б зону проводимости. Вероятность туннелирования Tt может быть
представлена ВКБ-а пир ойсим ацией '(метод Вентцеля - Крамер -са -г
Бриллюэна) [J1. 0]: j
:ехр -2 f | k (x) \Jx I, (4)
*s
- 2 ^ \k {x)\Jx I,
-Xi J
где | h(x) | - абсолютная величина вол нового вектора носителя в барьере;
Xi и х2 - классические точки перегиба, как .показано на рис. 7 и 8.
Туннелирование электрона через запрещенную зону формально аналогично
обычному туннелированию через барьер. В настоящее
время точный вид потенциального барьера для электрона в запрещенной зоне
неизвестен. Тем не менее показано, что вероятность туннелирования слабо
зависит от выбора формы потенциального барьера.
б)
в)
Рис. 9. Потенциальные барьеры различной формы.
а - треугольный потенциальный барьер; б - параболический потенциальный
баБьер: в - параболический потенциальный барьер с компонентой Е.
Рассмотрим две формы потенциального барьера: треугольную и
параболическую, как показано на рис. 9. Для треугольного барьера
выражение для' волнового вектора можно представить в виде
/2т* _ ' / 2т* (Eg \
(РЕ Б) - 1/ нГ{-Г-д*Х') " 1
(5)
где РЕ - потенциальная энергия; Е - энергия просачивающегося электрона;
Eg - ширина запрещенной зоны полупроводника; б - напряженность
электрического поля.
Из выражений (6) и '(4) получим:
7"f^:exp
Г 4 Vto? (Вл V/2 -1 |Ч
= ехр [ --з-Щ- ^ 2 _ qffx) J
так как при Х = хг дёх^ = О,
/Ев \
а при х = - хЛ ~2 qSx 1 = Ее, получим:
(6)
4 Y2т* ЕЦ2
т* ~ ехР i )• (7)
Для потенциального барьера параболической формы с учетом
того, что Ео - энергия, отсчитанная от середины зоны, выражение
(РЕ-Е) имеет следующий вид [Л. 10]:
(V2)2-?o _(EaW-(q*x)*
РЕ - Е=- р--------------------------------------р----------------------
----------------- (8)
Cg Eg
Тогда для вероятности туннелирования получим:
г,="р[-2]у^3га).].
ч'Ч2Е312 •
y=2q?'xlEg
(9)
Это выражение фактически идентично уравнению (7), за исключением
постоянной, равной п/2]А2 = 1,11 для параболического барьера и AV2/3 =
1,88 для треугольного барьера1.
1 Расчет вероятности туннельного перехода через запрещенную зону для
трехмерной задачи дан в работах JI. В. Келдыша [Д. Л. 4-5].
Так как при туннелировании суммарный м-омент должен быть неизменным, при
расчете вероятности туннелирования необходимо также учесть поперечный
момент.
Мы разложим суммарную энергию на Ех и Е^, где -энергия,
соответствующая моменту, перпендикулярному направлению туннелирования
(или поперечному моменту), а Ех- энергия, соответствующая моменту в
направлении туннелирования. Тогда для ?^>0, как показано иа рис. 9, в,
имеем:
Из выражений (4), .(10) и (11) получим выражение для вероятности
туннелирования
где первый экспоненциальный член такой же, как в уравнении (9), и
соответствует вероятности туннелирования с нулевым .поперечным моментом,
а Е определяется выражением
которое учитывает вклад- 'поперечного момента. Так, например, если Е
очень мало, то только электрон с малым поперечным моментом ¦может
туннелировать. Другими словами, влияние иерпендику .яркой анергии
приводит к уменынению_вероятности туннелирования с помощью множителя ехр
(-'2 Е^/Е). При прямом туннелировании поперечный момент должен быть
неизменным. И'З .представленных ранее соотношений ясно, что меньшим
