Физика полупроводниковых приборов - Зи С.М.
Скачать (прямая ссылка):
необходимо только использовать квазиуровни Ферми для примесных уровней с
соответствующими коэффициентами вырождения.
4. Коэффициент усиления на единицу длины. В полупроводниковом лазере
коэффициент усиления g, или приращение потока энергии на единицу длины,
зависит от структуры энергетических зон и является сложной функцией
степени легирования, плотности тока, температуры и частоты. Чтобы
получить некоторые основные понятия о коэффициенте усиления, мы
рассмотрим сначала простую систему с двумя энергетическими уровнями,
представленную на рис. 1. Результаты, полученные для такой системы, будут
в дальнейшем
использованы при выводе качественного выражения для порогового тока.
А. Дискретная система с двумя уровнями. Коэффициент преобразования для
системы с двумя уровнями может быть получен на основании следующих
выводов, приведенных впервые Эйнштейном [Л. 18]. Рассмотрим
взаимодействие атома с излучением абсолютно
черного тела, находящегося при температуре Т, с плотностью энер-
гии в единичном интервале частот, равной:
8лAv3 1
Р (v) = ghvJkT _ ] > (5)
где с - скорость света в вакууме.
Полная интенсивность переходов между уровнями 2 и 1 в присутствии
внешнего поля равна (рис. 1,6 и е):
lP2i = C21p(v) + l/T СПОЕТ, (6)
а интенсивность переходов с уровня 1 на уровень 2 (рис. 1 ,а) равна:
Wiz=Bl2p(v), (7)
где Тспонт - время жизни спонтанного излучения; В2) и В12 - постоянные,
которые следует определить.
При термическом равновесии интенсивность переходов с уровня 4 на уровень
1 равна интенсивности переходов с уровня 1 на уровен 2, так что
N2W2l=NiWl2. (8)
Отношение населенностей N2/Ni выражается больцмановским распределением:
Ml- с-hvlkT ,qi
Nx Вг e ' (9)
где g2 и gi - коэффициенты вырождения уровней 2 я 1 соответственно.
Комбинируя уравнения (6) и (9), получаем:
~ (г./*.)
LcnOHT
P(V)= Bl2~BMSl)e-^kT' (Ш)
Вследствие того, что вся система в целом (атомы и поле излучения)
находится в тепловом равновесии, p(v) в уравнении (10) то же, что и в
уравнении (5). Приведенное ранее равенство удовлетворяется при условии,
если
Bi2=B2i(g2/gI) ' (Па)
и
1 87l/ZV3TeiIOHT ,11,.,
7ГТ----------75----• (Нб)
Из уравнений (6) и (11) следует, что интенсивность стимулированных
переходов, возникающих при взаимодействии с полем излучения, равна:
(^2l)cTHM = 8П^8Т ~ p(v)- (^2)
ошсу т-епонт
Более общая форма уравнения (12) имеет вид:
со
(^si)cthm = [ 8пЛ'/8Тспонт А (v')dv'- (,3)
где A(v')-нормализованная функция линии излучения для перехода или f
A(v')dv'=l.
Очевидно, что если p(v/)/v'3 постоянно во всем интервале частот
поглощаемого излучения, уравнение (13) превращается в уравнение (12).
В поле монохроматического излучения с частотой v и плотностью излучения
pv плотность энергии в единичном интервале частот равна что вместе с
уравнением (13) дает: сХ\
<14>
Если монохроматическая волна распространяется в вакууме (в направлении Z)
с населенностью уровней Л'2 и Nt, изменение потока энергии /" = cpv
вследствие стимулированных переходов в направлении у равно:
dIv с2 Wi igi/gi) - Nt\ A (v)
-li- = (Af1W72I-/V1lS7ie)Av = -----------^--------------------<15)
Следовательно, интенсивность изменяется как
где
Mz) = /V (0)e-fi(v)z, (15а)
d/v/da cT^.-iV.te/ft)] g(v) = - j = g-j- A (v). (16)
* v Tcn0EI
Форма линии излучения, встречающаяся на практике, часто может быть
аппроксимирована кривой Гаусса или кривой Лоренца.
Нормализованная кривая Гаусса имеет вид:
А (V) = ~Y^ в-* >" 2(" v0)2/Av , (17)
где vo - основная частота, a Av - полуширина кривой излучения.
^стим !
Нормализованная кривая Лоренца выражается формулой
Av
А М = 2л I(v - v0)2 + (Av/2)2] • (18)
Чтобы получить g(v) из уравнения (16), можно вместо A (v) записать A
(vo)l/Av (для кривых Лоренца или 'Гаусса следует использовать
соответственно 2/nAv или 2(/in 2/л /Av).
Б. Структура зон полупроводника. В полупроводниковом лазере коэффициент
усиления имеет более сложный вид, чем в рассмотренной выше системе с
двумя уровнями. При возрастании интенсивности возбуждения функции
распределения FC(E) и FV(E) изменяются, так что Efc увеличивается, a Efv
уменьшается. Форма кривой зависимости коэффициента усиления от энергии
фотона также меняется. Если матричный элемент один и тот же для всех
начальных и конечных состояний, функции для спонтанного и полного
стимулированного излучения могут быть записаны как
^опонт (v) = в j пс (?) nv (Е - hv) Fc (?) t1 - Fv (? - Av)] dE>
(19a)
(v) = В ^ nc (Е) nv (Е - Av) [Fc (E) - FV(E - Av)] dE. (196)
Коэффициент В выражается формулой
В= (4riq2hvlm2h2c3)\<M>\2Vol, (20)
где <М> - матричный элемент; Vol - объем кристалла; п - коэффициент
преломления в полупроводнике.
Выражение для полной интенсивности излученйя Wt имеет особенно
простой вид, когда отсутствует правило отбора, так как
в этом случае можно проводить интегрирование независимо по зоне
проводимости и валентной зоне и Wт равно:
WT=Bnp, (21)
где " и р - концентрации электронов и дырок. WT представляет собой
