Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Как легко видеть из (13.30), система отсчета, в которой выполняются условия однородности (31) для этой метрики, не является сопутствующей (Ji ФО).
Линейный элемент ds2 однородного пространства с вращением, удовлетворяющий уравнениям тяготения Эйнштейна в пустоте, имеет вид
ds2 = -dx°2 - — x2dx°dxl +(1 + х°2 - X22 Jdxl2 +
С \ C2 C2 /
4 СО 2 2
+ — X0 dx1 dx2 + dx2 +dx3 , со = const Ф 0. с
Очевидно, при "выключении" вращения (со 0) все три однородные космологические модели с вращением переходят в мир Минковского Как легко видеть, однородные космологические модели с вращением, во обще говоря, нестационарны (в смысле выполнения условий Dik Ф 0) Однако деформация пространства системы отсчета, в которой выполняют ся условия (31) при Aik Ф 0, происходит таким образом, что объем эле мента пространства не меняется с течением времени. Поэтому космологи ческие модели, претендующие на описание наблюдаемого расширения Метагалактики и ее возможного вращения как целого, необходимо искать в классе пространств, не удовлетворяющих условиям (31).
213 § 2. Хронометрически инвариантные вариации в теории тяготения Эйнштейна
Применение конечных и некоторых бесконечно малых величин, обладающих свойствами хронометрической инвариантности, или кине метрической инвариантности, или ортометричности, делает целесообразным рассмотрение вообще бесконечно малых величин разных порядков (включая вариации), обладающих теми же свойствами. Мы уже пользовались такими бесконечно малыми величинами, например dx19 du, dr. Здесь мы ограничимся рассмотрением хронометрически инвариантных вариаций (вообще говря, бесконечно малых первого порядка). Как было отмечено в гл. 13, ХИ-величины применимы тогда, когда фиксирована система отсчета, т.е. фиксирован выбор линий времени xl = const, следовательно, допустимы лишь преобразования вида
х°' = х0\х°9х19х2ух3), .' , , , Эх'"'
x1 =x1 (x1jx2jx3), — =0.
Эхи
Область применимости бесконечно малых ХИ-величин включает в себя, в частности, проблему гравитационной неустойчивости, теорию гравитационных волн и двухметричный формализм.
Будем предполагать, что координаты вещественны, gliV и другие дифференцируемые величины непрерывны по ха вместе со своими первыми и вторыми производными по ним. Систему координат не варьируем. Как и раньше, мировой тензор энергии-импульса выбираем так, что его след равен взятой с обратным знаком плотности массы покоя (см., например, §11.2). ХИ-дифференциальные операторы (т.е. не нарушающие ХИ-ха-рактера дифференцируемых величин) будем отмечать звездочками. Вариацию будем обозначать символом 6. Тогда
*Э *Э *Э *Э *Э _ 1 *д
5 dt ~ dt 6 ~ Є dt ' 6 Эх' ~ Эх1' 6 ~ с ^dt ' где
є = -olny/-g00,
Si = -V-Sooo (SoiIgoo)i
причем є — ХИ-скаляр, Si - ХИ-вектор. Заметим, что вариация ХИ-тензо-ра есть ХИ-тензор. Варьируя фундаментальные ХИ-тензор hik и определитель h (см. § 13.1), получим ХИ-тензор t]ik и его след т? = 17J:
тIik = lAShik9 тIik=-lAbhik9 r\ = b\nyjh. Вариации ХИ-символов Кристоффеля второго рода A1* также образуют ХИ-тензор:
Qk =Ь Д* = • Vi ttf + * Vyг?* - *V*T7l7 +
+ -(SiDf+ SiDk -SkDijX с
*Эт? 1
oi = 6а'/у = -t +-sid.
1 dx1 с
214 Рассмотрим вариации ХИ-тензора скоростей деформации пространства отсчета, Diky ХИ-тензора угловой скорости вращения пространства отсчета Aik и ХИ-вектора гравитационно-инерциальной силы Fi. Можно показать, что для них справедливы следующие равенства:
SDik = є Dik +
*дг)ік bt
6 Dik = е Dik +
"Эт?
bt
drj
6D = eD +-, D = D;
dt 1
ЬАік = -ЄА„ + | р +± F^k -Qf + ± Fky,
SFi = C2
"де
— - с
•З І,
дх' dt
Вариации 6 Aifc и SFi связаны следующими тождествами:
*Э *Э А,-* 1
-SAik+є-— + -
bt bt
2
bF,
\ГЪ *Э \
( —. 6Fk - —г SFi к \дхг к Эх* 7
1 ( *bFk
tAbIT
Пусть Q1k - ХИ-тензор. Тогда имеют место следующие равенства: (S*Vt-*VtS)Qlk =
mZQ1k
bt
Q'S(D'k +Ak) + Q1kS (D- + Aj),
1 .
(S-Vi--ViS)Ql = -Hi
с dt
OjkQj+e'jQi.
Здесь *Vr - оператор ХИ-абсолютного дифференцирования по времени, "V1- - оператор ХИ-ковариантного дифференцирования. Для ХИ-тен-зоров Hlk'! и Ciki характеризующих некоммутативность ХИ-ковариант-
215 ного дифференцирования и кривизну пространства отсчета, имеем
5Hyfa 'Vk в{, --ViOjcl + -%кС>п-~ ?, C1kl,
с с
ZClk = ViCVkOl
+ ^ HkCi1 + SiCikj)-^SjCi - (Dik Alj+ DiAkj),
kl
С
где
CL = = • Vw Di+ *VlDin --ViDlm -
(Fm D\ + FlDim -FiDlm).
Пусть Tuv — мировой тензор энергии-импульса, р - ХИ-плотность массы, Ji - ХИ-плотность потока массы, равная плотности импульса, Ulk — ХИ-плотность потока импульса, U = Utr Тогда, как известно (см. § 13.6),
р = --7™, = , Vik=C2Tik.
goo
V -go о
Введем о = 5 In р. Варьируя уравнения законов энергии и импульса, получим
*Э
Р— (т? + а) + (е + а)|
'Grto)"
1 : + (Ut'SDti + А/бUi') +'VjdJ'+ — J' +
1 /*Э \ . 2
\ЭГ / \Э/ / Эг
+ 26[(Z>* + A,*)/'] +'VlStZlfc + J Zi^ + D^Uik +
*Эт? 1
+ OktUi' + —- Utk - - S(FiUik) ~p(a + 6)Fk = 0. " дх1 с2
