Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ГЛАВА 1
ТЕНЗОРЫ
§ 1.1. Понятие риманова многообразия
Рассмотрим совокупность объектов (точек), которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие со всеми упорядоченными системами п действительных чисел (х°, jc1, - . - , xй*""1). Множество всех таких точек образует (арифметическое) пространство п измерений. Всякое взаимно однозначное соответствие между точками и системами чисел (х°, X1,..., хп~1) назовем системой координат; числа ха назовем координатами той точки, которой в этой системе координат отвечает система чисел ха. Условимся, что греческие индексы а, ?,. .. пробегают п значений от 0 до п — 1 = т, а латинские индексы /,/,... пробегают лишь п — 1 значений от 1 до т
Пусть в рассматриваемой области заданы две системы координат { Xcl }
и {x? }. Будем предполагать, что между ними существует взаимно однозначное непрерывное соответствие. Оно может быть записано уравнениями
производными до порядка N (N > 2). Кроме того, якобианы обоих преобразований — прямого и обратного - отличны от нуля:
Возьмем точку P с координатами ха, т.е. точку P(Xa) и точку Р\(ха + + (Ixcl), бесконечно близкую к ней. Этим двум точкам пространства сопоставим особое число, называемое расстоянием между этими точками. Будем считать, что расстояние — инвариантное свойство этих точек. На понятие расстояния наложим следующие ограничения: а) расстояние не зависит от порядка следования точек; б) расстояние между двумя совпадающими точками равно нулю, но не наоборот, — обратное, вообше говоря, не справедливо.
Если для каждой пары точек определено понятие расстояния, то пространство обладает мероопределением, или метрикой, и называется метрическим. Существуют различные метрические пространства. Если квадрат
14
det -
Ъха
Э/'
Il Vа II
ФО, det —-— ФО.
Il Эх Il расстояния между двумя бесконечно близкими точками Р(ха) и Pi(xa + + dxa) есть квадратичная дифференциальная форма
ds2 = Hg dx?dxv = g dx»dx\
не зависящая от системы координат, то пространство называется римано-вым (или римановым многообразием). (Здесь, как и везде, по повторяющимся внизу и вверху так называемым немым индексам производится суммирование - правило Эйнштейна.) Функции g ?v = g?V(xa) есть функции от Xot9 имеющие все непрерывные частные производные до порядка 2 и подчиняющиеся условию g = detg?v Ф 0.
Если для всех пар точек ds2 > 0 (или ds2 < 0), то метрика называется дефинитной. Если для одних пар точек ds2 > 0, а для других пар точек ds2 < 0, то существуют не совпадающие точки, для которых ds2 =0. Метрика в этом случае называется индефинитной.
Если координаты Xcl заданы как функции вещественного параметра то величина
/ dx» dxv
s= Г '""-sr-sr А
определит длину дуги между точками Z1 и ;2 кривой Xcl = ха(/); при этом не исключается возможность того, что длина дуги кривой будет равна нулю. Такие кривые называются изотропными. Далее изотропные кривые определенного типа (изотропные геодезические линии) интерпретируются в пространственно-временном многообразии релятивистской теории тяготения как мировые линии света.
Если в бесконечно малой окрестности любой точки пространства можно ввести систему координат таким образом, что квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками из этой окрестности в этой системе координат имеет вид
ds2=dx°2 +dx1* + ...+dx(n~l)\ то пространство называется (собственно) римановым; если же
ds2=dx°2 -dxl2 - ... - dxl"-1? или
то пространство называется псевдоримановым. Нас будет интересовать четырехмерное пространство с псевдоримановой метрикой и трехмерное пространство с римановой метрикой. Однако в следующих двух параграфах не предполагается, что пространство является метрическим.
§ 1.2. Понятие тензоров
Пусть в системе координат S(xa) дана функция кр = кр (х°, jc1, . . . , хт). Предположим, что некоторая геометрическая или физическая величина
описывается функцией В системе координат S'{xa'} та же самая физическая величина описывается функцией у = ^'(*° , х1 ,. . . , хт ).
15 Если в любой точке пространства ip' = ^pi то такая величина называется инвариантом. Таким образом, инвариант есть величина, обладающая тем свойством, что в каждой точке пространства значение ее в разных системах координат одно и то же.
Например, гравитационный потенциал в ньютоновой гравитационной теории является инвариантом по отношению к трехмерным преобразованиям координат. В декартовой системе координат потенциал выражается
функцией if = ут/ \Jx2 + у2 + z2, а в полярной системе координат — функцией у' = ут/г. Однако значение гравитационного потенциала в данной точке не зависит от системы координат.
Рассмотрим преобразование системы координат Six01} в систему координат StIx0 }.
Совокупность п величин (в я-мерном пространстве), которые при преобразовании координат преобразуются по закону
я. п-\ dx?' bx?'
y? = 2 Vа - = Vа- , (1.1)
<*=о Ъха Ъха
называется контравариантным тензором первого ранга или контравари-антным вектором.
