Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
9. А.Л. Зельманов
129 ЧАСТЬ IV
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Развитие теории гравитации и космологии в рамках ОТО стимулировало также развитие математических методов, необходимых для решения конкретных задач этих разделов науки. Одно из направлений развития математического аппарата (формализма) связано с возможностью различных способов расщепления пространства-времени на трехмерное пространство и время. В этой части будут изложены формализм хронометрических инвариантов, формализм кине метрических инвариантов и ортометрическая форма монадного формализма. Для метода хронометрических инвариантов существен фиксированный выбор линий времени, т.е. системы отсчета, тогда как выбор пространственных сечений остается произвольным. Для метода кинеметрических инвариантов, наоборот, существен фиксированный выбор пространственных сечений, тогда как выбор линий времени остается произвольным. При изучении анизотропной неоднородной вселенной целесообразно применять метод хронометрических инвариантов. При изучении моделей однородной (в групповом смысле) вселенной целесообразно использовать метод кинеметрических инвариантов. Методы хронометрических инвариантов и кинеметрических инвариантов допускают их общековариантное обобщение — ортометрическая форма монадного формализма, — для которого существен фиксированный выбор поля, монад -мировых (вообще говоря, времениподобных) векторов постоянной длины.
ГЛАВА 13
МЕТОД ХРОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ
§ 13.1. Хронометрически инвариантные величины
Выше мы пришли к выводу, что при наличии неоднородного гравитационного поля метрика пространства-времени является псевдоримановой. В разных полях метрика, вообще говоря, будет различной. При каждом конкретном виде метрики можно выделить систему координат, которая будет физически преимущественной по отношению к другим системам. Однако не существует универсальной физически преимущественной систе-
130 мы координат, т.е. системы координат, которая была бы физически преимущественной при любом виде метрики. Этим псевдориманово прост-ранство-время отличается от галилеева пространства-времени, в котором физически преимущественной является галилеева система координат; именно поэтому СТО сформулирована в галилеевых координатах. Поскольку в случае неоднородного гравитационного поля, когда метрика пространства-времени псевдориманова, нет универсальной физически преимущественной системы координат,то все физические законы должны быть сформулированы в виде, пригодном для использования в любой системе пространственно-временных координат, т.е. в общековариантном виде. В этом и заключается принцип общей ковариантности. Для общеко-вариантности уравнений достаточно записать их в тензорном виде.
Как известгіо, общее преобразование четырехмерных систем пространст-венно-временных координат имеет вид
JC0' = Jt0V, JC1jJC2jJC3),
xі' = JC1V, JC1, JC2, JC3).
Предположим, что система отсчета выбрана, и ограничимся только этой системой отсчета и не будем переходить к другим. Выбор системы отсчета равносилен выбору конгруэнции линий времени JC1 = const. Четырехмерные системы координат, покоящиеся относительно одного и того же (вообще говоря, деформирующегося) тела отсчета, а следовательно, принадлежащие одной и той же системе отсчета, связаны друг с другом преобразованиями вида
JC0' =JC0VjJC1jJC2jJC3), (13.1а)
JC1'' = JC2, JC3). (13.16)
Равенство Эх*/Эх0 = 0 есть условие того, что системы координат принадлежат одной и той же системе отсчета. Тогда принцип общей ковариантности сводится к принципу ковариантности по отношению к преобразованиям (13.1). Ковариантность по отношению к преобразованиям (13.1) расщепляется на инвариантность относительно преобразований (13.1а) и трехмерную ковариантность по отношению к преобразованиям (13.16). Действительно, преобразования (13.1) можно заменить последовательностью преобразований
X0' = X0V, JC1, X2, X3), JC1'' = JC1' (13.2)
и
JC0' = JC0, xі' = JC1V, JC2, JC3). (13.3)
Величины и операторы, инвариантные относительно преобразований (13.2), будем называть хронометрически инвариантными (ХИ).
Как было отмечено в §4.1, преобразование временной координаты, по сути, есть смена набора часов, расположенных во всех точках тела отсчета и показывающих координату времени (но не истинное физическое время). Примером преобразования временной координаты служит смена
9*
131 набора пружинных часов на набор маятниковых часов. Все физически измеряемые величины не должны зависеть от того, каким набором часов мы пользуемся, т.е. они не должны изменяться при переходе от одного набора часов к другому, следовательно, они должны быть хронометрически инвариантными величинами.
Итак, хронометрически инвариантные величины можно рассматривать как наблюдаемые в общей теории относительности, т.е. как величины, непосредственно связанные с физическими измерениями.
Теорема. Пусть ?*oo..!o ~ компоненты четырехмерного тензора ранга г, все верхние индексы в которых отличны от нуля, а все нижние (числом т) — нули. Тогда совокупность величин Tik'''р =
