Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Величина (Vfi)va обозначает вторую ковариантную производную от Vfi, где сначала производится дифференцирование по xv, затем поха. Вычислим разность (Vfi)va- (Vfi)av:
(Vp)vo ~~ (V?)oV ((Vp)v)o ~~~ ((V?)o)v
Z(Vu)v ЧУц)о
= 4 г™ Гл (V } - Га (V } - + Г01 (V Ї + Г01 (V } =
1 оц\ v a Jv 1 av\r ?Ja ~ v ^ 1 v?\v a Ja т 1 va\r pJa
дх° a" ""дх"
Э
ф-г^г^-г&к,)-
Э ZdVll ЭхЧЛс5
_ ^EltL Va-Г*3 ^l-Ta -^2.+Га Г*3 V дГ°» у„+ г? bvV + Vа дУа г<* r? V -
(gpa gpa \
°" 01 »" + г0 Paa-Tl3 Га V
ЭХ" дХ° ^0 " l^opfa-
Таким образом,
/эга эга \
(Vfl)vo-(Vfl)av =(-^--+ (7.1)
Теорема доказана.
57 § 7.2. Тензор Римана — Кристоффеля и его свойства
Введем обозначение
дГ<*
r- <x = _ "" + r? Г<* р/3 г<*
Эх" Ъх° ?° v^ a^'
Тогда (7.1) принимает вид
(Vp)vo ~ (V?)ov G?Va Vql.
Поскольку ковариантные производные второго порядка от вектора есть тензоры третьего ранга, то на основании теоремы частного можно утверждать, что Gpvoaесть тензор четвертого ранга. Этот тензор называется тензором Римана — Кристоффеля или тензором кривизны (полным тензором кривизны). В пространстве п измерений тензор четвертого ранга имеет п4 составляющих.
Теорема. Для того чтобы метрика пространства была плоской, необходимо и достаточно равенство нулю тензора Римана - Кристоффеля.
Доказательство. Необходимость. Пусть метрика плоская, т.е. метрика есть метрика плоского пространства. Тогда можно выбрать такую систему координат, в которой все символы Кристоффеля во всех точках пространства тождественно равны нулю. Тогда, как легко видеть, во всех точках пространства тождественно равны нулю также все составляющие тензора Римана - Кристоффеля.
Таким образом, если метрика плоская, то тензор тождественно
равен нулю во всех точках пространства.
Достаточность. Предположим, что во всех точках пространства тензор Римана — Кристоффеля тождественно равен нулю: G^JJk= 0. Пусть в данной системе координат {S } символы Кристоффеля тождественно не равны нулю. Покажем, что при 0 всегда можно ввести такую систе-
му координат {S }, в которой во всех точках символы Кристоффеля
тождественно равны нулю.
Как известно (см. § 3.2), формулы преобразования символов Кристоффеля при переходе от одной системы координат к другой имеют вид
Эхе ~ Ъхр дха д2хе
_г<* = ге _ _- + __(1 Ts
Ъх" "" р°Ъх»Ъх" ЪхПх»- _ К '
Предполагая, что требуемая система координат ( S } найдена, получим
--= Г° — . (7.3)
Эх"Эх" Эх"
Нам нужно найти функции Xе = хе(х°, х\ х2, х3), для которых имеют место дифференциальные уравнения (7.3). Заметим, что эти уравнения одни и те же для всех неизвестных функций хе, так как в коэффициенты индекс е не входит. В пространстве п измерений уравнений всего Vin(n +1), при W = 4 уравнений всего 10, а неизвестных функций - 4. Число уравнений больше числа неизвестных, поэтому система может быть и несовместной. В силу этого необходимо отдельно рассмотреть вопрос о совместности системы дифференциальных уравнений (7.3). Возникает также другой
58 вопрос: действительно ли функции х€, удовлетворяющие системе уравнений (7.3), можно рассматривать как координаты системы, в которой символы Кристоффеля тождественно равны нулю? Ответим сначала на этот вопрос. Естественно, при этом мы предполагаем, что функции х€ удовлетворяют условиям, предъявляемым преобразованиям координат и изложенным в начале § 1.1. Пусть функции х€ удовлетворяют уравнениям (7.3). Тогда из (7.2) следует
~ дхр Ьха
гє _ _ =о
рст Эх" Эх"
Эх" Эх"
Свертывая это равенство с —у -, получим
Эх* Эх71
Tpe0Sf5-= 0;
или Г^ = 0, что эквивалентно равенствам = const. Таким образом, функции хе, удовлетворяющие уравнениям (7.3), можно рассматривать как координаты системы, в которой Г^ = 0. Удовлетворение искомых функций х€ уравнениям (7.3) есть достаточное условие для того, чтобы эти функции были координатами системы, в которой символы Кристоффеля тождественно равны нулю во всех точках пространства.
Рассмотрим вопрос о существовании решений системы уравнений (7.3). Сначала получим условия совместности (интегрируемости) этой системы, которые вытекают из условия совпадения смешанных частных производных функцийх€. Продифференцируем (7.3) по координатех°:
Э3хе ЭГ" Эхе Э2хе
_= ?__+Га _
bx°bx?bxv Ъх° Эх" ?V Ъх°Ъха '
Вторую производную в правой части полученного равенства заменим соответствующим выражением из уравнений (7.3) и заменим при этом а на ?:
Э3хе ЪГ% Эх* _ Эхе
, рР ра
Т 1 IlV 1 пі
Эх°Эх"Эх" Эх° Эх" "" a? Эх" или
Э3х* Эхе /ЪГ% . ^
—A- + rL г
Эх "Эх "Эх" дха\дх° "" Аналогично имеем
:. ^jTT- +rf„ Г
л
o?j-
Эх"Эх"Эха дхл\дхр ?a
Потребуем независимость смешанных частных производных от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования. Тогда, вычитая последние два равенства, получим
дх€ ZbTauv ЭГ° Л Л \
0= _г _ftu _ _U? + р? ra - r? га і
ЭхЧ Эх* Эх" "" a? l^1"*/
59 ШІИ
?-о. <7.4,
Равенства (7.4) представляют собой условия совместности системы (7.3). Очевидно, при тождественном равенстве нулю тензора кривизны G?vo* условия совместности (7.4) выполняются тождественно, т.е. для всех значений Эхе /Эха ихе.
