Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
быть получено как нуль-пространство некоторой один-формы со, принимающей
значения в алгебре Ли. Эта форма называется формой связности. Если задана
локальная тривиализация, то форма о задается равенством со = g~lAg +
g~xdg, где А = ~ 2 dx^, Аи лежат в алгебре Ли, g^?/ - G. (Более точно,
g~lAg -f g~ldg есть обратный образ формы со, соответствующий локальной
трпвиализации ср: иУ,#-* В, UczM.) На языке физиков компоненты Ап
называются векторным потенциалом Янга - Миллса.
Как правило, при поднятии замкнутая кривая в Л? не переходит в замкнутую
кривую в В. Однако концевая точка лежит в том же слое, что и начальная
точка р0, и, следовательно определяет некоторый элемент gp> (С) группы G.
Он называется оператором голономии, соответствующим С и ро. Если
локальная тривиализация (калибровка) выбрана таким образом, что р0--(ро,
И), то, пользуясь физическими обозначениями, можно написать
Bfh = р ехР 5 А>
с
где Р обозначает траекторное упорядочение-
Если gPo[C) не равно тождественно И, то мы называем связность
нетривиальной. Если g^ (С) ф 11 для некоторой стягиваемой кривой С, то мы
говорим, что связность обладает кривизной. Форма кривизны - это
(горизонтальная) 2-форма на В со значениями в алгебре Ли группы G. Если
выбрана локальная тривиализация, то она задается 2-формой F на М со
значениями в алгебре Ли:
F = dA+-j[A, А].
Компоненты F представляют собой янг-миллсовский тензор напряженности.
Если S(C) - гладкая поверхность, натянутая на кривую С, то
exp ^ F&gPt(C)
S(C)
в главном порядке по |5(С)|. Если (С) = 1 е G для всех С, то F = 0 и
главное расслоение тривиально. С другой стороны, если F = 0, то gPc (С) -
11 для всех стягиваемых замкнутых кривых С.
Поля материи определяются как сечения векторного или спинорного
расслоения. Сечение - это просто гладкое соот-
Геометрические аспекты калибровочных теорий
195
ветствие, которое каждой точке реМ сопоставляет точку реВ таким образом,
что в локальной тривиализации р = = (/;,/). Поэтому локально сечение -
это просто отображение М в &.
Важным является понятие плотности топологического заряда, которое
выражается в терминах классов Черна. Классы Чернасп определяются простым
способом [901] с помощью равенства
"O+s'O-Z^"'
так что
Можно показать, что ^ сп - всегда целое число, если
М2 П
Мщ - компактное 2п-мерное подмногообразие без границы (т. е. 2я-цикл) в
М. Число ^ сп называется числом Черна
М1П
или топологическим зарядом.
Понятия главного расслоения, связности и кривизны можно уяснить на
следующем простом "классическом" примере. Рассмотрим шар, который может
катиться по поверхности М. Предположим, что на шаре нарисована некоторая
сетка, позволяющая следить за его ориентацией. Конфигурационное
пространство локально представляет собой прямое произведение пространства
М и пространства ориентаций. Пространство ориентаций можно считать
пространством ортонормиро-ванных реперов, прикрепленных к шару, и его
можно отождествить с 50(3). Таким образом, конфигурационное пространство
можно рассматривать как главное расслоение В со слоем 50(3) и базой М.
Связность определяется условием качения: перемещение шара вдоль заданной
кривой определенным образом меняет его ориентацию. Эта связность
нетривиальна. Кривизна F соответствует инфинитезимальным вращениям вокруг
оси, проходящей через центр шара и точку контакта с М. Для плоской
поверхности при "естественном" выборе калибровки
JL
А = -р- (L| dx2 - L2 dx{), F - - 1Я и dxi dx2,
где Lь L2, L3 - стандартные антисимметричные генераторы группы 50(3), a R
--.радиус шара. Мы предоставляем читателю найти для этого примера
различные операторы голономий- К сожалению, в этом примере нет ненулевых
чисел Черна.
о = Чженя.-Прим. ред.
ДОБАВЛЕНИЕ А. А. Мигдал
ЗАДАЧИ И ПЕРСПЕКТИВЫ КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Введение
Все известные взаимодействия в Природе переносятся калибровочными полями.
Открытие принципа калибровочной инвариантности - одно из самых великих
достижений физики 20-го века.
Вместе с тем методы исследования калибровочных полей, которыми мы
располагаем, оставляют желать лучшего. В первую очередь это касается
теории адронов - квантовой хромодинамики (КХД). Мы ожидаем, что будущие
калибровочные теории Великого Объединения (сильного взаимодействия с
электро-слабым) и Суперобъединения (всех взаимодействий, включая
гравитационное) также потребуют новых методов количественного описания.
Традиционные методы квантовой теории поля неотделимы от теории возмущений
(см. [1]). Поля и вещество описываются наборами осцилляторов - квантов.
Пространство квантовомеханических состояний поля содержит наряду с
физическим (т. е. калибровочно-инвариантным) сектором множество
нефизических состояний, которые описывают удаленные друг от друга
"цветные" (т. е- неинвариантные) объекты - кварки, глюоны.
Взаимодействие осцилляторов приводит к кулоновским силам с
логарифмическими поправками. Ни в каком порядке теории возмущений эти
силы не приводят к удержанию цветных объектов. Мы ожидаем, что удержание
