Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
модели Хиггс2
(П:|^12:ЫП^Ы)Х
\i = l у-l / L, Т
а для модели КЭД2
(п ('l' (ft) 'Ф (gi)) П F (hi))
\г = I 1-\ / L.T
Неравенства (7.60), (7.60') показывают, что выполняется нулевая аксиома
Остервальдера - Шрадера [4], а именно некая оценка умеренности плюс некое
условие роста (по k, I) функций Швингера. Следует, однако, отметить, что
реконструкция релятивистской теории поля точно также может быть основана
непосредственно на неравенствах (7.57), (7.57').
4. Отметим еще одно следствие неравенств (7.57), (7.57'): они
позволяют получить равномерную оценку для средних значений "струн"
' sл
5 (СХу) =5 ф (х) е С*У Ф(у) (7.61)
или
S(C*")s^(*)e °*у $(у), (7.610
где Сху-(кусочно-гладкий) путь из х в у?=х. Для модели Хиггс2 увидеть это
совсем легко; для КЭД2 нужно подставить начальный отрезок разложения по
теории возмущений (итерированные уравнения для резольвенты) оператора GF
в формулы Мэттьюза - Салама (6.28):
Of = Of + KGf + KGfKQf + (KGP)3 + KOfKG'f (KGf)2, (7.62)
где
К*=Ф + М)~1А.
После всего, что мы уже доказали, первые четыре слагаемых в (7.62)
оцениваются тривиально; что касается последнего слагаемого, то нетрудно
видеть, что
J {КоЛо'р (KGPf) (xQ, у0) dm (А)
7. Устранение всех обрезаний
163
есть среднее значение произведения ф (/ л) ф (ЯУо, л), где функции f_Voi
л. д лежат в L2 при почти каждом А и
\ |1 fx,. А Но dm (Д)> \ II 8у" А Из dm (Л) < ОО.
А А
Гр афически f _j соответствует графу. --------^^ , т. е.
х0
fXa< А - ^ GP (а-с" jc') А {х') G,. (х', х) А (х) dx'
и т. п.
В последнем разделе мы опишем схему реконструкции, основанную на средних
значениях "струн" и аналогичных ка-либровочно-инвариантных нелокальных
объектов-
с. Термодинамический предел; проверка аксиом
Существуют две общие стратегии перехода к термодинамическому пределу.
Одна основана на монотонности по объему (корреляционные неравенства),
другая, более конструктивная,- на кластерном разложении.
Для модели Хиггс2 в отношении корреляционных неравенств дела обстоят
удачно, однако кластерное разложение для нее до сих пор не построено. Оно
могло бы быть очень полезным, но его построение никоим образом не
является тривиальным, по крайней мере в "хиггсовском" режиме. Для КЭД2,
напротив, мы не знаем никаких корреляционных неравенств, но мы дадим
сейчас набросок того, как построить в этой модели кластерное разложение.
Оно должно также работать и для модели Хиггс2 в режиме типа КЭД; e/rn <С
1, %/т2 <С 1.
Сначала нам придется кое-что сказать об эвклидовой ковариантности. Наши
состояния во внешнем калибровочном поле были эвклидово-ковариантны в том
смысле, что они были инвариантны относительно общего эвклидова сдвига
калибровочного поля и наблюдаемых; как было показано в разделе 6, этот
факт не нарушается в решеточном случае.
Но при обрезании мер калибровочного поля эвклидова ковариантность
нарушилась из-за выделения временного направления. Значит, надо показать,
что после перехода к пределу при t-y0 это направление перестает быть
выделенным.
То что это так, весьма правдоподобно, поскольку
1) нарушение эвклидовой ковариантности происходит только у высших
моментов;
2) из сходимости устойчивого разложения следует, что эти высшие
моменты вносят произвольно малый вклад.
164
Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Фактически доказательство основано на такой идее. Пусть Deiv/ -
ковариация, соответствующая повороту направления, в котором произведено
обрезание, на угол 0, <•¦>*, е - соответствующее этому обрезанию среднее
значение. Справедлива следующая
Теорема 7.19. Для полиномиальной или экспоненциальной наблюдаемой Р
lim {Zt, е (P)t, е - Zt. о (P)t. о} = 0. (7.63)
г-> о
Доказательство. Введя интерполирующее поле A(s) с ковариацией + (1 - s)мы
можем записать разность в (7.63) как
1
^ ds jj dmt (A) jj d\iA (s) КР, (7.64)
о
где К имеет такой же вид, как и в пункте а. Но теперь КР - очень малая
наблюдаемая, если t мало, и можно показать,
что выражение (7.64) стремится к нулю как ia, где а > 0.
Дальнейшие подробности см. в [29]. ?
Теперь о термодинамическом пределе. Сначала с помощью корреляционных
неравенств докажем следующую теорему:
Теорема 7.20. В модели Хиггсг для произвольной последовательности
прямоугольников Л" / R2, /, g^d' (R2) предел
lim
п-юо Ап
существует и не зависит от последовательности (Лп).
Доказательство. Из корреляционных неравенств пункта 2d вытекает, что
является убывающей
функцией объема Л, в предположении что g ^ 0. В силу оценки (7.55)
семейство целых функций на С,3
{Fn{zb гг, 2a)}"{<ez.^"+^l1:(^+)-:l*',:(*3M)°"}
является нормальным семейством, и в предположении, что g+, g- ^ 0, a h
вещественна, оно сходится при z2 ^ 0, z3 ^ 0 и вещественных z\. Значит,
по теореме Витали, оно сходится всюду (это соображение заимствовано из
работы Фрёлиха [40]).
Эта сходимость равномерна на компактных множествах, и предел не зависит
от последовательности (Ля). ?
Следствие 7.21. (е-М^МяН/чл)) эвклидово-инвариантно.
