Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
дает объяснение явления "насыщения сил", которое проявляется, например, в
том, что не существует удерживающих сил между объектами, состоящими из
трех кварков.
Вильсонов критерий удержания относится только к чистой теории Янга -
Миллса; такого простого критерия уже нет для моделей, содержащих поля
материи, которые нетривиально преобразуются под действием центра
калибровочной группы, как, например, в квантовой хромодинамике (КХД).
Хотелось бы подчеркнуть, что удержание кварков означает больше, чем
только отсутствие состояний с ненулевым цветовым зарядом. Было бы
катастрофой для гипотезы удержания, если бы кварки могли экранировать
свой цвет и тем самым избавлялись от удерживающей их силы.
Для ознакомления с физической картиной удержания и экранировки кварков я
рекомендую [86]. К поднятым здесь вопросам мы будем многократно
возвращаться в различных местах этой книги.
См. обсуждение этого вопроса в разделе 4. По поводу эффекта Мейсснера см.
Фейнман [1*]. - Прим. ред.
1. Схема построения решёточных калибровочных теорий 11
1. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ РЕШЁТОЧНЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Эвристическим основанием для таких теорий, которое полезно постоянно
иметь в виду, является эвклидов вариант фейнмановского интеграла по
траекториям, приведший к заметным успехам в конструктивной квантовой
теории поля (обзор вопроса и библиографию можно найти в [11, 12, 80] *>).
Идея состоит в том, чтобы, используя классическое действие S (</>), где ф
обозначает конфигурацию поля модели, построить некоторую вероятностную
меру на пространстве "полевых конфигураций" по формуле
(ф) = ~y s^) Д с1ф {х).
X
Здесь П ёф(х) обозначает (несуществующую) меру Лебега на полях, a Z -
нормировочный множитель, выбранный так, что Решёточные варианты этой
формулы были с большим успехом применены в случае скалярных теорий поля,
так как они позволили воспользоваться методами статистической механики
[13, 14]: переход к непрерывной модели удалось действительно провести в
размерностях 2 и 3 [13, 14].
Прежде чем переходить к решёточным моделям, следует напомнить
геометрический смысл калибровочного поля Ар.. Как объясняется в
приложении в конце книги, Ац - это компоненты некоторой формы связности в
главном расслоении, выраженные в специальной системе координат
(обеспечивающей локальную тривиализацию расслоения)2'. Один-форма A =s
ЛцС?а'11 со значениями в алгебре Ли g выбранной калибровочной группы G
(которая предполагается компактной группой Ли) показывает, каким образом
следует смещаться в пространстве внутренних состояний при сдвиге по
некоторому направлению в базе (== эвклидовом пространстве-времени). Она
индуцирует (для данной локальной тривиали-зации = "калибровки")
отображение пространства путей Сху, начинающихся в точке х и кончающихся
в точке у, в калибровочную группу G по следующему хорошо известному
правилу:
g {Сху) Р exp jj A^dx*, (1.1)
!> См. также Глимм и Джаффе [12]. - Прим. ред.
2> См., например, книгу Дубровина, Новикова и Фоменко [2*].- Прим. ред.
12
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
где Р обозначает "упорядочение, задаваемое путём". С правой стороны стоит
известный интеграл (см. [15]), и использованное здесь физическое
обозначение весьма ясно передает его смысл.
Переходя теперь от эвклидова пространства-времени Rrf к простой
кубической решётке eZd (или к любой другой решётке), мы будем понимать
под калибровочным полем всякое отображение множества ориентированных
"связей", или пар, <ху> ближайших соседей решётки в группу G
(xy)*-*gxy е G, (1.2)
обладающее свойством
gxy = gyl (1-3)
Иногда будет полезно считать, что gxy возникают из "лежащего в основе"
непрерывного калибровочного поля по правилу (1.1).
Из нашей конструкции ясно, что мы понимаем под калибровочным
преобразованием отображения {ху) н-> gxy. А именно, оно действует на
отображениях узлов решётки в G:
х t-> hx (1.4а)
и преобразует такое отображение по правилу
Следующий шаг состоит в том, чтобы определить решёточный аналог
непрерывного действия калибровочного поля, которое задается выражением
"V." М):- ^$ Тг (/ Л'¦ F) - - -jL J Tr V"v _^ 5 m
где F = йЛ ~[А, А] есть 2-форма кривизны, ассоциированная
с А (принимающая значения в д); след вычисляется по
любому локально-точному представлению: *F- форма, двойственная к F в
смысле Ходжа.
Решёточный вариант соотношения (1.5), предложенный Вильсоном, получается
следующим образом. Пусть % - произвольный характер группы G,
принадлежащий некоторому локально-точному представлению. Решёточное
калибровочное поле связывает с любым замкнутым ориентированным контуром С
класс [gc] сопряженных элементов группы G, содержащий произведение
элементов gxy, соответствующих рёбрам пути С, начиная с какой-либо его
точки, в порядке, опреде-
Ниже Y. М. W. и Y. М. V. - от Yang - Mills, Yang - Mills - Wilson и Yang
- Mills - Villain соответственно.- Прим. ред.
/. Схема построении решёточных калибровочных теорий 13
ляемом его ориентацией. В частности, элементарные квадраты- так
