Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
(композиция умножения на функцию в р-про-странстве с умножением на
функцию в х-пространстве) удовлетворяют оценке
||СII, ?= const llflljgll?, (5.16)
где q ^ 2 и ||С||9 = (Тт (C*C)q/2)i/ci. Но К (А) можно записать как
произведение унитарных операторов | А 11/2(р2 -f- М2)-'/4 и их
сопряженных, откуда и вытекает наше утверждение- ?
114 4.11. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
1ТгС*
Отметим, что для операторов вида 1 + /<,/< е 3q (q ^ 1), существует
хорошо развитая теория модифицированных определителей Фредгольма (см.
[20,74]).
Определение 5.2. Пусть С е 3fq. Тогда
г Р-1
z •
detp (1 -C) = detL(l - С) ek (для р> q).
Замечание. Правая часть имеет вид det(l-f-B), где BgJ 1 (класс операторов
со следом), и, следовательно, корректно определена. Формально (а при
условии, что [|С||< 1, и строго) справедливо равенство
log detp (1 - С) - - ? тЪСК
k ^ р
detp обладает многими хорошими свойствами, и среди них следующими:
Лемма 5.3. detp(1 - zC) есть целая функция от 2 порядка р; ее нули
располагаются в точности в точках, обратных собственным значениям
оператора С.
Д о к а з ате л ь ст в о. См. [20]. ?
Возвращаясь к фермионным калибровочным теориям, заметим, что для того,
чтобы определить перенормированный определитель, мы должны восстановить,
насколько это возможно, члены ТгС* (k < р), уничтоженные в detp. Не
учитывать их было бы неверно, так как это не соответствовало бы локальным
контрчленам. Заметим, что Tr K(A)k отвечает однопетлевой диаграмме
Фейнмана с внешними калибровочными полями в вершинах:
Тг К (А)
и мы очень хорошо знаем, как их перенормировать; обозначим1'
перенормированные выражения через TrrenK(A)k. Мы можем ввести следующее
определение.
11 Ниже индекс геп - от renormalized (перенормированный^.- Поим.
ред.
S. Методы построения непрерывных теорий "5
Определение 5.4.
detren (1 + еК (Л)) = detd+i (1 -j- еК (Л)) X
X ехр
? т ТГгет (" к {A))k
Замечания. 1. Понятно, что перенормировка делается таким образом, чтобы
detren оставался калибровочно-инвариантным и вычеты соответствовали
локальным контрчленам, так что положительность по Остервальдеру - Шрадеру
сохраняется (все эти вопросы следовало бы обсудить более подробно; см.
[74]).
2. Без особого труда можно получить для перенормированного определителя
замкнутое выражение, основанное фактически на классической статье
Швингера [21]; например, для d - 4 оно имеет вид
log I detren (1 +еК (Л)) |2 00
= 5 dt log (t A2) Tr(tfF И) e~tHp <л'-е_шр<0) ЯР(0)). (5Л7)
о
Здесь А - масштабный параметр (имеющий размерность массы), а НР(А) -
четырехмерный гамильтониан Паули:
ЯР(Л) = (ip -j- еА -f M)*(ip + еА -+- М).
Подробное доказательство и обсуждение формулы (5.17) увело бы нас слишком
в сторону от темы, но формально она выводится совсем непосредственно
(строгий вывод см. в [74]).
Вернемся обратно к модели Швингера. Ее тривиальность вытекает из того,
что определитель имеет крайне простой вид.
Лемма 5.5. Если d = 2, Лц е L2, М - 0, то det4(l +еК(А))= 1.
Следствие 5.6. Спектр оператора К (Л) сосредоточен в нуле, т. е. К (А)
квазинильпотентен.
Доказательство. Это вытекает из следующих трех фактов:
a) det4(1 + еК(А)) калибровочно-инвариантен;
b) det4(l 4- еК(А)) - чётная функция от е\
c) det4 (1 -(- еК (А)) = det4 (1 -f- eiy^K (А)).
Свойство а) вытекает очевидным образом из конструкции. Свойство Ь) есть
хорошо известная теорема Фарри; она справедлива, потому что определитель
инвариантен относительно зарядового сопряжения, которое, однако, меняет е
на -е.
116 Ч.П. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Свойство с) следует из Ь):
det4 (1 + еК (А)) = det2 (1 - еК (Л)2) >/*,
а
Д'(Л)2 = (/Тб/С(Л))2.
Далее, в силу а) мы можем считать, что <?цЛм = 0 (заменив Ац на Лд -f
ддА-'еМу)- Из с) и того, что у5A*=iB, где Ви == еДчЛч., следует, что
det4(l + еК (Л)) = det4 ( \ -\- еК (В)).
Но оператор В чисто калибровочный, так что ввиду а)
det4 (1 -f- еД' (В)) = det4 (1) = 1. (Щ
Замечание. Конечно, это - результат Швингера [24]; доказательство взято
из [23].
Лемма 5.7. Для d = 2, Ац е L2 и М = О
detren (1 + еК (Л)) = ехр (- -g- || Л? ||2),
где XI Лц + 5цА_1(ЭуЛу - "трансверсальная" часть поля Ац.
Доказательство. Это следует из стандартных вычислений Тггеп К (Л)2
(поляризация вакуума второго порядка), ср. [24]; см. также (7.64),
(7.65). ?
Замечания. 1. Для detren(1 + еК(Л)) выполнена "диамагнитная" оценка из
пункта Id.
ОО
2. detren (1 + еК (Л)) не равен ;П (1 +eKt), где (А-#)^_! -
собственные значения оператора Д(Л). Это так даже в случае, когда никаких
контрчленов нет.
Чтобы завершить построение, надо придать смысл мере dniY. м. (Л). Это
будет гауссовская мера с ковариацией, в которой сначала выполнено
обрезание. Можно взять dm{Y м с ковариацией
Чтобы сделать меру dm (А) корректно определенной, мы должны также сделать
временное пространственно-временное обрезание функций в К (А), например
заменив Лд на A^g,
5. Методы построения непрерывных теорий 117
