Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
!ов (Р. <(r)>Л - Z К * - а) ТГ • <3-35>
х
Наконец, сделаем несколько замечаний о "низкотемпературном" разложении по
дефектам (называемым вихрями для d = 3 и вихревыми поверхностями для
d - 4). Предположим,
что группа G дискретна; фактически это означает, что G
конечна, так как мы рассматриваем только компактные группы. Будем
называть дефектной сетью всякое множество S плакетов, которым отвечают
нетривиальные значения ёдр (Soo ^ И)> вместе с этими значениями gep (в
действительности лучше было бы писать gep, х, так как выбор начальной
точки х имеет значение).
Эта информация эквивалентна заданию всех операторов голономии g(Cx) для
любых замкнутых кривых Сх, начинаю-щихсхя в произвольной точке х.
Статистическая сумма, обычная или модифицированная, представляется в виде
суммы членов, каждый из которых соответствует фиксированной дефектной
сети ?>:
za=?z?>. (з.зб)
В каждом члене Z^> мы должны, как и раньше, разложить фермионное и
хиггсово действия. Факторизационные свойства диктуют полимерную
структуру: полимер Л будет теперь состоять из косвязного (связного на
двойственной решетке)
50
Ч. /. Решёточные калибровочные теории
множества дефектов вместе с множеством фермионных и хигг-совых связей,
"связанных" с множеством дефектов следующим образом. Из калибровочной
инвариантности вытекает, что могут встречаться лишь замкнутые петли,
состоящие из ребер (в предположении, что рассматриваемые представления
группы G удовлетворяют условию (R)); так как дефекты образуют линии для d
=> 3 (рис. 6) и поверхности для d = 4, применимо обычное понятие
связанности. Для трехмерной
Рис. 6. Полимер в "низкотемпературной области" (й = 3).
модели Хиггса с G = Z2 всё это проделано в [41]. Кластерные разложения
(3.33) и (3.35) могут быть также интерпретированы как низкотемпературные
разложения; конечно, определения полимеров и их активностей при этом
становятся иными.
Наконец, мы хотим показать, что кластерные разложения сходятся равномерно
по объему, в предположении что активности достаточно малы. Это нельзя
было сделать в общей (не зависящей от размерности) постановке предыдущего
раздела, хотя размерность сказывается существенным образом лишь в одном
месте - на возможном числе попарно несовместимых ("перекрывающихся")
полимеров, фигурирующем в оценке величины а(Х) (см. следствие 3.9).
Определение 3.10. Через |у| мы обозначаем число связей в полимере у,
рассматриваемом как геометрический объект (т. е. подмножество решетки
Zd).
Лемма 3.11. Пусть задано у. Число полимеров размера s, несовместимых с у,
не превосходит |v|Cs, где постоянная С зависит от размерности и типа
рассматриваемых полимеров.
Доказательство. Этот результат хорошо известен. Он вытекает, например, из
задачи Эйлера о кёнигсбергских мостах !). А именно, произвольный полимер
у есть множество
]) Размышления Эйлера над задачей о семи кёнигсбергских мостах привели
его, как известно, к понятию эйлеровой характеристики. - Прим. рвд.
3. Методы разложения в ряд
61
связей, связанных в некотором смысле, н, выбрав произвольную связь в у,
мы можем двигаться по у вдоль пути, который проходит каждую связь не
более двух раз. Число таких путей длины L не превосходит CL/2^.CS,
Множитель |у| появляется благодаря свободе в выборе начальной точки. ?
Теорема 3.12 (см. Малышев [42]). Существует такая постоянная К ^ 4/е -f-
log С, что
ТТ X Л- 2 1 Y ! А- (V)
ПС (y) Y
у
Доказательство. Будем писать п вместо п(Х). Положим
Е Х{у) = п" (3.37)
|Y| = r
Ет'-4 <3-38>
("средний размер" полимера в X). Далее, пусть
r0sa inf | y I- (3.39)
v
Предыдущая лемма утверждает, что
~ Е g(y> y'XIy'IC",
I
и, следовательно,
Е Сх (у) < - Е ? (Y, Y') X (yO < п dcr. (3.40)
Ivl=r Y'
I Y \-r
В силу неравенства, связывающего среднеарифметическое и
среднегеометрическое,
Ь (X) " ? X (Y) log С* (Y) - ? X (Y) log X (Y)
- I * I
г>Го 1 Y 1"г
< Е nrlo% Z тtCX(y)
Г>гО | Y |т
^ Е (3,41)
52
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
(на последнем шаге мы воспользовались (3.40)). Перепишем это неравенство
в виде
^W"!ogC + J2§i-i?ilog^. (3.42)
Г ^ Го
Так как
logJ!> -" + ? X(y)log Х(у), (3.43)
то нам нужно оценить ^ = 7\d sup ГУ! J(Y) logC^(y) - log Z!)
na n, d фиксii" I ^ рованы ' Y
< sup f J_+log_rf_ _j_ lo Q-------------1 у Ztlog^V
n,d фиксн-1 d d Lj it s П I
розаны ' /
(3.44)
Это сводится к некоторой энтропийной оценке для идеального бозе-газа. Мы
должны максимизировать удельную
энтропию
s- ? a iogi
Г > Го
при ограничениях
Ел'=л'
Рис. 7. (d играет роль удельной внутренней
энергии).
Хорошо известно, да и нетрудно показать непосредственно, что это приводит
к распределению Гиббса
-5р = е-э <"¦-"¦.)(! _е-Р),
откуда следует, что
S - - log (1 - е~Р) + , (3.46)
1 - е н
= (3-46) Отсюда легко вывести следующую оценку (используя тот факт, что
го ^ 1):
Т<7' (З-47)
[Если стремиться получить постоянные получше, то нужно проделать немного
больше работы. А именно, S является выпуклой функцией от d (рис. 7), так
