Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
из (Х.57) следует, что фок = 0, поэтому Рою" ^010 И
01 (0) = -J- (ia0a010e5ie -ta"aoloe-5i0) =
feO
2
= --И а0"ою I sin (50 + argа010 + arg о0). (X. 137)
ЪО
Поэтому
50о + argа010 + argо0 = kn, k = 0, 1, 2, ..., 9, (Х.138)
и существует десять значений 0". Возвращаясь теперь к (Х.135) и принимая
во внимание (Х.138), находим, что существует два зна-
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 229
чения р2(0"):
Ра (во) = C0S (kn - arg (r)o) -
PaSo
Kiel " f cos (arg o0), если 6 = 0, 2, 4, 6, 8, (X J39
Palo \ -cos(argo0), если k=\, 3, 5, 7, 9.
Поскольку для p = 0 имеем ?" = 1^ > 0, а>0 = сод, "" = 0^, то
-л/2 <
< arga0 < я/2, а так как р2 > 0 (нас интересует устойчивость,
т. е.
суперкритический тор), то р2(0о)>О. если k четное, и р2(0о)<О, если k
нечетное. Наибольшее и наименьшее значения р2 (0) достигаются, если co0 =
argo0 = 0. Поэтому положения точек пересечения на замкнутой кривой р (0)
" е + егр2 (0), е>0, сдвинуты на угол argo0 от впадин и гребней этой
кривой.
Наконец, отметим, что десять точек пересечения на замкнутой кривой в
поперечном сечении тора в точности совпадают с точками, определяемыми из
уравнения (X. 129). Связь между амплитудой б > О, которая использована в
(Х.129), и параметром е можно установить в наименьшем порядке из
соотношения
х == 6ei(P° = [е -f е2р2 (0О)] е'е".
Отсюда следует, что существуют два значения б4 и б2 амплитуды б 6 = e-f-
e2p2(0o), ф" = 0о, которые соответствуют двум значениям р2 (0О), а р (б
(е)) = р(2)б2 -f р<3)б3 + ... =
= Р(2)е2 + [2р(2)ра (0О) + Р(3)] 83 + О (е4).
В разложении р (6 (е)) = р (в) = рае2-f р4е4-f . . . нечетные степени 8
равны нулю. Например, в результате отождествления коэффициентов находим,
что р(2) = р2, и из (Х.129) находим, чтор13) = -2р(2)р2(0о)-
§ Х.14. Устойчивость субгармонических решений на торе
Суперкритический тор (р2 > 0) устойчив, если в мало. Однако одно из двух
субгармонических решений неустойчиво. Чтобы исследовать устойчивость этих
решений, положим р = р (0, е) = е + е2р2 (0) + + 0(е3), р = р2е2 -f О
(а4) в (Х.78) и найдем, что
0 = е304 (0) + 0 (е4),
где 04 (0) дается формулой (Х.137). Теперь наложим на 0О возмущение 0 =
0о-|-0' и линеаризуем последнее уравнение с учетом
230
ГЛАВА X
(Х.136); в результате получим уравнение
ё' = [е*е; (е,) + О(е")]0' + О(|0'|*),
где 0О дается формулой (Х.138), fVa," = Р010 =
2P,opi(0o) = 5" "ою^310" + "oio*"6<H
°Ч0
(Х.140)
: I а"
После некоторых простых выкладок с использованием только что указанных
соотношений уравнение (Х.140) приводится к виду
' 5рз I ~ п
I °i> I I <*010 |
0' = -
I cos kn j + +[O(e*)]0' + O(|0'|)2.
Рис. Х.2. Бифуркация и устойчивость 57-периодических решений на торе.
Существуют два 5 Т-периодических решения, имеющие по 5 точек пересечения
с поперечным сечением тора. Решение с положительными значениями р2 (0О)
неустойчиво, а решение с отрицательными значениями устойчиво. Если argcro
= 0, то ш0= = (0) =0, и множитель Флоке
Х = еаТ = е1(а°г е11^1 пересекает единичную окружность в направлении
луча, исходящего из начала. В этом случае устойчивым решениям
соответствуют 5 точек на гребнях, где р' (во)=0. а неустойчивым решениям
5 точек во впадинах, для которых р' Оо) = 0.
Поэтому 57-периодическое решение с 5 точками пересечения (? = 0, 2, 4,
6,8), близкими к гребням, устойчиво, а другое 57-периодическое решение с
точками пересечения, близкими к впадинам (?=1, 3, 5, 7, 9), неустойчиво
(см. рис. Х.2).
Результаты, касающиеся устойчивости субгармонических решений при п > 5,
подобны только что приведенным. Существуют два различных периодических
решения на торе, каждое из которых пересекает замкнутую кривую в п
точках; половина этих точек принадлежит устойчивому решению, а половина
неустойчивому, причем устойчивые и неустойчивые точки пересечения
чередуются. (Подробности этих расчетов устойчивости можно найти в книге
Иосса Bifurcation of Maps and Applications, цитированной выше.)
§ X.15. Захват частоты
Можно сказать, что захват частоты происходит в динамической системе,
когда колебания с двумя независимыми частотами влияют одно на другое
таким образом, что происходит синхронизация двух колебаний в одно
периодическое колебание с общим большим периодом (субгармоническое
колебание). Это явление носит общий характер и очень сложно.
БИФУРКАЦИЯ в АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 231
Явление захвата фазы на торе Т% происходит, когда все траектории на торе
захватываются некоторой периодической траекторией при возрастании р.
Чтобы понять явление захвата, полезно ввести в рассмотрение отображение
Пуанкаре (первое возвращающее отображение); оно определяется как
монотонная функция / (•):
0ь-"/(0), О<0<2л, где 0 и /(0) суть вещественные числа, / такая, что
/ (0 + 2л) = f (0) + 2л,
и f отображает начальную точку траектории, принадлежащую кривой р = е/?
(0) на торе, в точку пересечения траектории с этой кривой после истечения
промежутка времени Т, при этом кривая параметризована значениями 0.
