Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Значения k - Q, 1, 2, 3 соответствуют переносу начала отсчета на
интервалы, кратные периоду Т:0, Т, 2Т, 3Т, если m= 1; 0,3Т, 27, 7, если т
- 3. Функции /х<у> являются аналитическими 1) относительно е2, a ul/)
аналитические по е.
Рекурсивное построение нашего решения в виде рядов показывает, что
свойства инвариантности и (/, е) по отношению к переносам начала отсчета
t на отрезки, кратные периоду 7, можно вывести из свойств преобразования
коэффициентов
de
g? (ф0 + (ят//Г)) __ git),,/
в выражении для ещ (t) = ее'э"'? (t) + ee~'e°%(t), ?(-)€Рг- Это выражение
и коэффициенты и"(/), рекурсивно зависящие от их(/), не изменяются для
первой группы переносов
Фо1-1> Фо + (тс/2), /i->/ - 7 (т- 1) и l>->t + T (т = 3).
С другой стороны, группа переносов ф0н-"фи + л, -27 (m= 1
или 3) приводит к преобразованию eu, (/)i-> eux (/-27) = (-e)Uj(/). Это
преобразование эквивалентно преобразованию и(/, е)р->u(t-27, е)= = и (/,-
е), потому что перенос t изменяет знак коэффициентов с нечетными номерами
и2"_,(/), что равносильно изменению знака е в разложении функции и(/, е).
1 Если f аналитическая по (|х, и/.
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 187
§ IX.16. Устойчивость 47'-периодических решений
Для исследования устойчивости 4Т-периодических решений вблизи е = 0
рассмотрим спектральную задачу (IX.54) и определим коэффициенты
разложений *)
у(е) = у1е-|-уу2е2 + о(е2) (1Х.89Д
и
у(*. 8) = Уо(0 + Уг (t) 8 + уУг(0 е2-}-о(е2) ? Р4г (1Х.89)а
для каждого из двух независимых бифуркационных решений. Мы
нашли, что у4 = 0, так что устойчивость определяется знаком у2.
Используя обычный прием, подставим (IX.89) в (IX.54) и в обеих частях
получаемого уравнения приравняем члены при одинаковых степенях е; тогда
найдем, что
%о = 0, у0 € Р4г (IX.90)
Yiy" = %i+fai,(*luilyo). У1 € Р4Г (IX.91)
и
2ухУх + УзУо = Лу" + 2fии (t\ u4 I Ух) +
+ {мЛц(^ I Уо) + f"(*l Ua I Уо) +
+ *""B(^Ux|Ui|y0)}, уа(-)€Р4г- (IX.92)
С другой стороны, можно разложить
у (t, е) = А (е) Z + В (e)Z + еф (t, е), (IX.93)
где А, В и ф имеют комплексные значения и [ф, г*]4Г = [ф, Z*]4r = 0.
Из (IX.90) и (IX.93) следует, что
у0=^0z + s0z, |л0|2+|в0|2^=о (ix.94)
и
y1 = ^1Z + S1Z+'t0(0. (IX.95)
Далее, имеет место следующее тождество:
[*""(* |ui|y"). Z*]4r = 0, (IX.96)
потому что I Z, [ Zy), z*]4r=0, где /, /, k= 1 или 2 и Z* = Zx = Z,
Z2 = Zj* = Z*. Использование альтернативы Фредгольма для (IX.91) приводит
к равенствам:
___________ yHo = Yi50 = 0 и у, = 0.
*) Мы установили, что у (0) = 0 - полупростое собственное значение, у4=0
и у (е) имеет порядок е2.
188
ГЛАВА IX
Обращаясь теперь к (IX.91) с у, = 0 и (IX.95), находим, что Цп + А0е'<ЧОи
(< | Z | Z) + В0е_,(М1Ш (f | Z | Z) +
+ (В0е^ + Л^". )iaa(t\Z\Z) - 0. (I X .97) Сравнивая (IX.97) и (IX.78),
находим, что ф0 (() = A0eti'*etnmt/T w01 (/) -f- B0e-i<f">e~inmt/Tw01 (t)
+
+ y (A0e~i("° + B0ei(f°) w02((), (IX.98)
где m=l, 3, а функции woi€pr определяется по формуле (IX.79).
Обращаясь теперь к условиям fly*, Z/]4r = 0 разрешимости уравнения
(IX.92), где /=1, 2 и Zl - Zl = Z*, найдем, используя (IX.95), (IX.96) и
(IX.98), что
[fQ"(*luily,). Z*]47. = [fna(*|ui|ip0). Z*]4T =
= |(А0 + В0е2'Фо)[1ии(*|?К2), ?']r +A0[foe (/1 ё | w01), g*]r +
+ B0e~2i(f," [e~2nimt/Tfaa (t | Ё1 w01), ?*]r. (IX.99)
Точно такое же выражение, как и (IX.99), имеет место, если (Z\ А0, В0)
заменить на (Z*, В0, Л0), а все другие величины заменить их комплексно-
сопряженными:
[fee (^ I ux I уж), 1*\т-\(Ви+Аае-^)[\аа(1\1\^0,), 1*]г +
+ B0[f"(/I5lw01), l*]r + A0e^[e"'Tttta(t |?|w01), l*]T. Аналогично,
используя (IX.69), (IX.79) и (IX.94), находим, что P".(*l"ilyo). Z*]4T =
[fttu (^ | 2 w01 y0), Z*]4T =
= ^oP,eP|w".ie). ?*]r + fioe2i<p"[U(nw01|g), g*]r + + B0e~^ [е~^чтiaa (t
| w011Ё), 5*Jr
и
РиР1".|Уо). Z*]tT = ?0[fee(/|w0t|E), g*]r +
+ Aue[f" (/1 w011 g), ?*], + A0e^ [е*"*чт\иа (t | woI | g), ?']r.
Точно так же находим, что
[fflaaPKIuily")" 2*]4Г = 2А0 [1оои (t | ? | ? | ?), ?*]г +
+ ^<Ф*РВ"ВР|Е1Е|Ё), g*Jr + + В0е-2^ [е-"/^аиа (/1 g | g | Ё), ?"]г
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 189
[f"e (t I ut I Ul | y"), z*]4T = 2B0 [iaaa (t IE | Б |_g), g*]r +
+ Aae~^[iaaa{t\l\l\l), g*|7+_
+ A0e2'*>" iaaa (t | ? | ? | ?), g"]r.
Наконец, с учетом (IX.38) получаем
[^ар(^|Уо)> 2*]17- = СТ^Л0
и
Р"|Л*|Уо). Z*]4r = o'11B0.
Собирая все эти результаты вместе, находим, что два условия разрешимости
уравнения (IX.92) имеют вид
у2Л0 = (огцр2 + 2А2) А0 + В0 (Л2е2'ф" + ЗЛ3е-2,'ф°)
у2В0 = (Opjx,, + 2Л2) В0 + А о (Л2е-2'фо + 3A3e2^°). Поэтому у2 являются
собственными значениями матрицы 'P2au + 2A2 Л2е2г<р" + ЗЛ3е-*,'ч>"'
Л2е-2'ф" + ЗЛ3е2'Фо р^ + гл.
def
(IX. 100)
где рга^ + Ла+ Л3е-4('ф" = 0. Собственные значения у|1; и у^2) матрицы
(IX. 100) удовлетворяют соотношениям
(Т<ь + у ">) = tr S = 2 (р2^ + 2Re Л2)
и
: det S = | р2ад + 2Л212 - | Л2 + ЗЛ3е- 4i<*>" |2 =
т.а>т^ =
9а 4-
2Л,
¦ 8р2
р2 + Re
3"-+^Г}=
г}-
Если |Л,| < |Л81, то на основе теоремы § IX. 15 заключаем, что Ца^М-а2' <
