Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
автономные и неавтономные задачи
Теперь мы сделаем предположение, которому, очевидно, удовлетворяют
примеры, приведенные в § 1.1, о том, что U^O не является решением
эволюционной задачи, связанной с (1.1). Функция U = 0 не является
решением этой задачи в силу того, что правая часть уравнения отлична от
нуля при U = 0. В примерах, упоминаемых в § 1.1, правая часть при U = 0
есть ах (р) а3 (р) ... ап(р)тЬ0 в (1.2), ha(x, t, р) Ф 0, Ра(х, *, р)=И=0
в (1.3-6) и р(х, t, р) Ф0, ф(х, t, р)=й=0 в (1.7, 8). Если не учитывать
граничные условия в задачах, связанных с дифференциальными уравнениями в
частных производных, то правая часть при U = 0 дается выражением F {t,
р, 0) =5^0.
Ограничимся задачами, в которых правая часть при U = 0 удовлетворяет
условию1)
def
F(l,p,0) = F(n,0)^0 и F(p, U) не зависит от t (1.9)
х) Символ def над знаком равенства означает, что это равенство
принимается по определению,- Прим. перев.
12
ГЛАВА I
ИЛИ
F (t, p, 0) = F (t + T, p, 0) =7^=0 и F (t, p, U) Т-периодична (1.10)
Если F (p, U) не зависит от t, то задача
7Г = Р(|л, U) (1.11)
называется автономной. Если F (t, р, U) - периодическая по 1 с периодом
Т, то задача
^=F(f,p, U) = F(^ + 7,p, U) (1.12)
называется неавтономной Т-периодической. Как правило, мы будем опускать
слова "Т-периодическая" при описании неавтономных задач, поскольку лишь
Т-периодические задачи будут рассматриваться в этой книге.
§ 1.3. Редукция к локальной форме
Предположим, что для р из некоторого интервала R1 существуют равновесные
решения (1.11) и (1.12), имитирующие эволюционные свойства правой части
при U = 0. Тогда существует стационарное решение 0 (р) (1.11) и Т-
периодическое решение U (t, р) = U (t+T, р) (1.12).
Рассмотрим произвольное возмущение и решения С. Уравнение, описывающее
это возмущение, имеет вид
¦? = F(p, U + u)-F(f, р, U)=f(p, u) (1.13)
в автонбмном случае и
~=F (t, р, U + u)-F (t, р, 0) =f (/, р, u), (1.14)
где f (t, p, u) = f {t + T, p, u), в неавтономном случае. Функция u,
тождественно равная нулю, является решением (1.13) и (1.14).
Задачи (1.13) и (1.14), в которых и = 0 является решением, называют
задачами, приведенными к локальной форме. Приведение к локальной форме не
вызывает большой потери общности. Эта редукция имеет место для таких
значений р, для которых существуют U (р) и U (i, р).
Уравнения (1.13) и (1.14) тождественны, за исключением того
обстоятельства, что в f(/, р, и) в (1.14) явно входит t. Однако поведение
решений этих двух задач очень различно. Это не удивительно. Такое
различие обусловлено большим отличием свойств правых частей при U = 0,
которые описывают внешнее воздействие, оказываемое на динамическую
систему.
РАВНОВЕСНЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ
13
§ 1.4. Равновесные решения
Мы уже определили два типа равновесных решений: (1) стационарные решения
автономных задач и (2) Т-периодические решения неавтономных задач.
Одна'из основных особенностей бифуркации состоит в появлении решений,
которые нарушают свойства симметрии правой части при U = 0. Например,
можно получить (3) т-периодическое решение и (0 = и U + т) или u(0 = u (t
+ т) автономной задачи (1.11) или (1.13) соответственно. Можно получить
(4) субгармонические решения U (0 = U {t + пТ) или и (/) = u (t + пТ),
где п = 1, 2,3,..., неавтономных Т-периодических задач (1.12) или (1.14)
соответственно. Мы можем также получить (5) субгармонические
бифуркационные решения от т-периодических решений автономных задач и т.
д.
Допустим, что существует т-периодическое решение (1.13)
^- = f(p, u(p, t)), u(p, /) = u(p, t + t). (1.15)
В этом случае f автономна даже тогда, когда и зависит от t. Возмущение v
решения и(р, /) удовлетворяет уравнению
d(UJ~V) = f (Р. и (И-. *) + v (*))¦ (I-16)
Если существуют периодические решения (1.16) u(p, ^)-f-v(/) = = u (р, t +
т) v (t + т), где т -> пт, п= 1, 2, 3, ..., при v ->- 0, то решение u + v
называется субгармоническим. Наконец, можно получить (6) бифуркацию
периодических решений автономных и неавтономных задач в "асимптотически
квазипериодические" решения. Иногда говорят, что эти решения лежат на
бифуркационных торах, и они будут рассмотрены в гл. X.
Мы не даем общего определения равновесных решений. Вместо этого
"равновесное решение" будет означать один из шести типов решений,
перечисленных выше.
§ 1.5. Равновесные решения и бифуркационные решения
Бифуркационные решения представляют собой равновесные решения, которые
образуют пересекающиеся ветви в соответствующем функциональном
пространстве. Например, если U лежит в R1, то бифуркационные решения
образуют пересекающиеся ветви кривой F (ц, U) = 0 на (р, ?/)-плоскости.
Если U лежит в R2, то бифуркационные решения образуют связные
пересекающиеся поверхности или кривые в трехмерном (р, Uи U^-
пространстве. Скажем, что одно равновесное решение ответвляется от
другого при р = р", если существуют два различных равновесных решения
U(1' (р, t) и U(2)(p, t) эволюционной задачи, непрерывные по р и такие,
