Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
производным, находим
?а (U888) + Д8881Г6 + ЗАее?и& (?) -f- 3JFии (? | U88) + ?ааа (? | ? |?) =
0,
(V 1.81)
?а (Up.ee) + Дцееа^6 + ? вц Дее + ? ци (Uee) + 2JFив (?) Дце +
+ 2JF ая (? |ир8) + ? рвы (?. ?) = 0, (VI.82)
а^в(ирре) + Дрреа^ .+^M.pu(?)+2iFр" (Up8) + 2?рб Дре = 0. (VI.83)
Среди векторов, ортогональных ?*, эти уравнения имеют единственное
решение, если Д888, Др88 и Дрр8 выбираются так, что удовлетворяется
условие (VI.68).
Продолжая этот процесс далее, получим ряд Тейлора
Д (М-, е) = у [Д88е2 -Т- 2ДЕр ер] + [Д888е3 + ЗДр88ре2 +
4* ЗДрр8р2е] + О [е (| р | -f-1 е |)8]. (VI .84)
Уравнение (VI.84) имеет вид (III.26). Теперь мы переходим к оты-
сканию функции р (е, 8) методом последовательных приближений в R1. Итак,
задача отыскания изолированных решений, разрушающих бифуркацию в двойной
точке, приведена к одномерной задаче. Мы оставляем читателю в качестве
упражнения доказательство того, что задача устойчивости изолированных
решений может быть сведена к одномерной задаче, как в (III.32).
§ VI.11. Метод проекции в двойном собственном значении с индексом, равным
двум
Нас интересуют стационарные решения, которые ответвляются от решения и =
0, где и в Я удовлетворяет эволюционному уравнению
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
109
Устойчивость и = 0 определяется знаком вещественной части сг(р), где с
(р.)-собственное значение fa(p|-) с наибольшей вещественной частью
а 00 S = fB I ?) для S В Н. (VI.86)
Предположим, что для критического значения ст (0) является двойным
собственным значением с индексом, равным двум, линейного оператора
fB(0|-) = U-). (VI.87)
Так как а(0) = 0-двойное собственное значение с индексом 2, то имеем
следующую жорданову цепочку уравнений для собственных векторов и
обобщенных собственных векторов (см. дополнения IV. 1 и IV.2)i
USi) = 0, "(?,*) = 0,
iB(S,)=Ei. f"(sn=c;.
def
где fB = [fB (01-)]*-линейный сопряженный оператор, определенный
относительно скалярного произведения <•, •> в Н\
<ti, НУ = <fB (?,), П> = <?" К (?.')> = о,
<?i, ?Г> =¦""(?,), ?i*> = <?2. f;(ET)> = <5.. ?.*>•
Выберем и ?,* так, чтобы <?0 ?*> = <?" >= 1, <?а, ?Г> = 0.
Теперь будем искать решения, которые ответвляются от и = 0, в виде рядов
по степеням амплитуды как проекции
е = <и, И У,
(VI.88)
т. е.
и(е) _р (е)
л!
П = 1
и,
h. J
Находим, что
fB(u,) = 0, <ut, ?Г>=1, f" К) + (Ul) + Ка (0 I Ul I U,) = 0,
<u3, g;>=o
(VI. 89) (VI. 90)
(VI.91)
fB(un) + nHn-iW(ui) + l^n = 0, <u", ?1*> = 0, (VI.92)
где /" зависит от производных от р и и более низкого порядка. Условию
ортогональности <и", ? * > = 0 всегда можно удовлетворить, так как, если
и"-решение уравнения, которое не удовлетворяет условию ортогональности,
то u" = u"-<u", удовлетворяет и
уравнению, и условию ортогональности.
Уравнение (VI.91) показывает, что
Ul= S*. (VI.93)
110
ГЛАВА VI
Для построения полного решения нам необходим следующий результат.
Лемма (альтернатива Фредгольма, когда нуль есть двойное собственное
значение с индексом, равным двум, оператора У равнение
fa(<p) = ^. <Р (VI.94)
разрешимо тогда и только тогда, когда
<Ф, S2'> = 0. (VI.95)
Критерий (VI.95) не отличается от (VI.61); неоднородные члены в (VI.92)
должны быть ортогональны всем независимым нуль-векторам оператора fa. В
двойном собственном значении с индексом Риса, равным двум, существует
только один нуль-вектор. В вопросе разрешимости имеет значение только
геометрическая кратность. Необходимость условия (VI.95) очевидна.
Доказательство достаточности
(VI.95) для разрешимости в R" следует из линейной алгебры. Для более
общих задач требование (VI.95) имеет в точности ту форму, которую
принимает альтернатива Фредгольма, определенная в § VI.9, для
собственного значения с индексом, равным двум.
Записывая (VI.95) для (VI.91)2, находим, что
2n1C; + <fBB(0|E1|g1), ?*> = 0,
а для порядка п
</", &> = 0,
где
def
Q = <fB|i(Ei), g;>.
Наше бифуркационное предположение
С'"Ф 0 (VI.98)
эквивалентно предположению (V. 17), которое мы делали в R2. Поэтому, если
С'^фО, то можно вычислить ряды (VI.90) (на каждом шаге определяются р"_!,
uj.
Обращаясь теперь к анализу устойчивости бифуркационного решения (VI.90),
введем в рассмотрение спектральную задачу
УФ = *а (И8). и(е)|ф) (VI.99)
для малых возмущений ет'ф решения и(е). Подставляя разложение (VI.90) в
(VI.99), находим, что
уф = fa (ф) + е [|x,fBn (ф) -f fBB (01 ?, ] ф)] + О (е2) • ф. (VI. 100)
(VI.96) (VI.97)
Разложим ф в виде
Ф = а^1 + а2?2 +W,
(VI. 101)
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ Щ
где
а, = <Ф, ?,*>. <W, ??> = 0, /=1,2.
Замечая, что
s;> = 0, <fe(4>). ?I> = <i|>, ?,*> = "" (VI.102)
и используя (VI.97), уравнение (VI. 100) можно записать в виде системы:
Yai = a2 + 8 (ai"i + М2) + о (8) ¦ w + О (e2) • ф,
ya2 = - e(x1Coa1 + e&2a2 + 0(e).W + 0(е2)-ф, (VI. 103)
yW = fB (W) + 0(e)i|x
В силу того, что у близко к нулю (оКе ), а оператор fB обратим в
пространстве, ортогональном {?,, ?2}, (VI. 103)э приводит к оценке W =
