Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
= (ad - be) д.
Так как
det A = ad-bc = l 1S2,
то отсюда следует, что
(ad-bc)o = gt (0) g; (0) + g; (0) g2 (0) = g; (0) g2 (0),
и (V.12) доказано.
Другой простой метод построения этого же бифуркационного решения приведен
в § VI.2.
§ V.4. Устойчивость стационарного решения,
ответвляющегося в простом собственном значении
Устойчивость бифуркационного решения можно установить на основе линейной
теории в результате анализа собственных значений матрицы Однако в
действительности нас интересуют не все
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 71
собственные значения, а лишь наибольшее собственное значение, не равное
нулю в критической точке (другое собственное значение отрицательно).
Поэтому заманчивой представляется идея проектирования на R1; тогда можно
исследовать интересующее нас собственное значение, от которого зависит
характер устойчивости. Это мы сделаем в § VI.4, где будет показано, что
суперкритические стационарные решения, которые ответвляются в простом
собственном значении, устойчивы, а субкритические решения неустойчивы.
Этот результат в точности совпадает с результатом, который уже был
доказан при анализе бифуркационных задач в IR1 (см. рис. П.З).
§ V.5. Бифуркация в двойном собственном значении с индексом, равным
двум1)
В случае (2) из § V.2 мы ищем стационарные решения, которые ответвляются,
если а(0) = 0-двойное собственное значение с индексом, равным двум, и aIJ
= c0 = du = bg-1 = г/0 = 0. Стационарные решения имеют вид (V.2), где Це)
и у(е) определяются из двух нелинейных уравнений
gAK в. = (r), У)
def
gi (К е, у) _
=0,
где
gj = у + 8 {Я (а' +Ь'у) + а, + 2pty + у2) +0 (е2), g2 = X (г' + d'y) + а,
+ 2Р2у + у2у2 + О (г),
(V -14),
(V.14),
Для решения (V.14) воспользуемся теоремой о неявной функции. Ппежде всего
заметим, что (V. 14) удовлетворяются при
е = {/0 = 0, если только Х0 = - ам/с'0, т. е. gi(~ "го/Со. О, 0) = 0,
gti-UiJCo, 0, 0) = 0.
(V. 15)
Уравнения (V. 14) можно разрешить относительно (Це), у (г)), когда е мало
и (Це), у(е)) близко к (Х(0), у(0)) = (-<х^/с'0, 0), если определитель
матрицы
J =
dgi dgi дХ ду
L дХ
ду J
(V.16)
Эта задача при более общих предположениях исследована в статье Landman К.
A., Rosenblat S. Bifurcation from a multiple eigenvalue and stability of
solutions, SIAM J. Appl. Math., 34, 743 (1978).
72
ГЛАВА V
отличен от нуля при (к, у, е) = (-а20/Со, 0, 0), т. е. если
О 1
. Со Kd'o + 2(32
det J = det
= -с'оФО.
(V. 17)
Если Со = 0 и а20=?^0, то можно найти стационарное бифуркационное решение
в форме ("Др), "2(р))- Построение этого решения дано в упр. V. 1 в конце
этой главы.
Предполагая теперь с0 Ф 0, можно легко найти бифуркационное решение в
виде ряда по степеням е. Коэффициенты этого степенного ряда можно
вычислить в результате повторного дифференцирования (V. 14) по е при 8 =
0. Для первых производных получаем выражения
dgi (к (е), е, у (г)) de
dga(Me), е, (/(e))
8= 0
= (ао + "") = 0,
de
8= о
=c? + h(K%?+".dl) +
+ 2Р,.|-0.
dp
1 de J
(V. 18)
(V. 19)
Уравнение (V. 18) дает dy/de, а (V. 19) определяет dk/de,.
Другой метод построения решения, ответвляющегося от двойного собственного
значения с индексом, равным двум, будет дан в § VI. 11. При этом
бесконечномерные задачи проектируются в одномерные. Для бесконечномерных
задач размерностью основной проекции является геометрическая кратность щ,
независимо от алгебраической кратности р, (см. § IV.2 и § VI. 11). В
настоящем случае я, = 1 несмотря на то, что pt = 2; мы имеем один
собственный вектор и двойное собственное значение.
§ V.6. Устойчивость стационарного решения, ответвляющегося
в двойном собственном значении с индексом, равным двум
Устойчивость по линейному приближению бифуркационного решения,
построенного в (V.5), можно установить по знаку вещественных частей
собственных значений матрицы Якоби f, даваемой формулой (V.4). В
настоящем случае при a0 - ca = d(I = y() = b0-1 = = к0с0 + а2" = 0 имеем
= е(?10ао +2а10) 1 + е {к0Ь'о + 2Р10) о (е*)
е {к0с'0 + 2а20) е (k0d'0 + 2|320)
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 73
Собственные значения 'f суть (г) и у2 (е) и определяются уравнением det -
у1] = 0; отсюда находим
Vi (е)"
.Vi (в).
: [- eA,0c0]V2 | j +Y {*о (ао + ^о) +
+ 2а10 + 2Р2о}
+ 0(е3/2).
Возьмем одно из значений V ei скажем, V е-вещественное и положительное
число, если е>0; тогда уДе) и у2 (е) являются аналитическими по У г. Если
Х0фО, то имеем
Vi ((r)) "Та (в)
= (- рД)
1/2
1
- 1
+ 0 [р (е)].
Сравним эти выражения с формулой (IV.30)
°т (|а)
сг2(р)
= М1'2
1
- 1
+ 0 (р),
дающей собственные значения, определяющие характер устойчивости решения и
= 0. Если рс" > 0, то нулевое решение неустойчиво,
И'
Рис. V. I. Возможные распределения устойчивости стационарных решений,
ответвляющихся от е = 0 в двойном собственном значении с индексом 2 в
случае с\> О, где предполагается, что нулевое решение теряет устойчивость
строго, когда р, возрастая, проходит через нуль (см. IV.30))
