Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
б). Рассмотрим два случая:
(1) F(p, е, б) имеет общий вид и F^^O.
(2)F(p, е, б) имеет локальную форму (см. § 1.3) т. е. F(p, 0, 0) = 0 для
всех р из интервала, содержащего нуль.
Случай (1). F^n Ф 0. Введем новый параметр
изолированных решений, разрушающих двойную точку бифуркации, можно
вычислить отождествлением членов до порядка О (е2). Если F (¦, •, •)
аналитична в окрестности (0, 0, 0), то все члены ряда Тейлора для (II
1.18) можно вычислить в результате отождествления. Если?1 достаточно
гладкая, но не аналитическая, то можно вычислить единственное
асимптотическое представление вида (III. 18) с конечным числом членов
(полином Тейлора). Для нахождения pj и р2 подставим (III. 17) и (III. 18)
в (II 1.11) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е:
Для каждого из двух корней рх+ и рг существуют единственные значения р2+
и р^, даваемые уравнением (III.20), если
и единственные изолированные решения, разрушающие бифуркацию и
определяемые уравнениями
(III.17)
имеющий знак б. Коэффициенты разложения
р(в, 6) = pt (б)е + р2 (6)ё2 + о(|ё|2)
(III. 18)
б = а + 2бр, + ср^,
0 = 2бра -f- 2cpjp2 + d -f- ер, -f- /pj -f- gp2.
Уравнение (111.19) имеет два корня:
(111.19)
(111.20)
(III.21)
-^5 + бс^=0, 4 Ff,
(II 1.22)
р+ (ё, б)= р+ (6)ё + р2+ё2+о(| ё |2), р- (ё, б)= pf (б) е-f рге2 + о(
|ё|2),
(111.23)
ТЕОРИЯ НЕСОВЕРШЕНСТВ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ
43
где
И (") Ь*г(в).
Е = -
F ПП
+ h (г, б)
1
- 1
def
к (в, б) рГ(е, б)
(II 1.24)
h (е, б) = - -±- У De2-2F6Fm8 ¦ (sgn (bF6)),
\Х\Х
+ 1, если &F6 > О,
-I, если "fs< 0.
Следовательно, (up (е, б), рр (е, б)) представляет собой первое
приближение для р + (е, б) и р~(е, б). Чтобы найти второе приближение,
разрешим (III.20) относительно р2 и при фиксированном б = 5/еа найдем,
что
+
Р+ (е, б) Р7 (е, б) ^ 1 J.a 1 -}-ее2 1 т= > "со4 >2?
р" (е, б)_ РГ(ё, б)_ 2ch (8, 6) ) йг .-1. - рг (е, б)
если е
+ f* -0.
" К (8. б))2 ' К (8, б))3
(рг (ё, б))2 _ + ё .-0V(e, б))3.
+ о(|ё|2), (111.25)
Случай (2). F (р, 0, 0) = 0 для р из интервала, содержащего нуль. В этом
случае е = 0-решение бифуркационной задачи и c = g = 0. Легко проверить,
что в этом случае
Д (р, 0) = 0,
так что е входит множителем в правую часть (III. II). Чтобы найти кривую
р = р(е, б), которая разрушает бифуркацию, снова введем параметр б:
б ==еб = Д (р, ё) = ёД (р, е), (II 1.26)
б = Д (р, е) = ае + 26р + de2 + еерф-/р2 -f-o [(| ё | + | р |)2]. (II
1.27)
Уравнение (111.27) можно разрешить относительно р методом рядов,
использованным в случае (1), или методом последовательных приближений,
описываемым ниже:
Р = ^{б-qe-de2-еер-/р2}+о[(|е|-р|р |)2]. (III.28)
Первое приближение дает формула
= 'ае} = ^{т~ае}' (III.29)
Знаменатель b = - FeiitF6 = - |/D/F6 ф 0. Следовательно, (111.29) дает
два изолированных решения, разрушающих бифуркацию. На-
44
ГЛАВА III
пример, если а = 0 как в (III.16) (пример III.3), то получаем два
бифуркационных решения, если 6 = 0: е = 0 и р = 0. Изолированные решения,
разрушающие эти бифуркационные решения при 6=^0, да-
Рис. III.7. Гипербола, разрушаю- Рис. III.8. Второе приближение для
щая двойную точку бифуркации рис. II 1.7.
в первом приближении, если а = 0.
ются уравнением гиперболы р = 6/(26е) (рис. II 1.7). Второе приближение
определяется уравнением
р ~ р<2) : (б-аг-de2-еерш-fp(1'2} =
= Тъ {т-ае-de* ~ib <б-а&^ ~w (т ае)2} • V11 -3°)
Например, если а = 0, то получаем два бифуркационных решения при 6 = 0.
Эти бифуркационные решения локально определяются уравнениями
е = 0 и р = - ^е2, (III.31)
которые соответствуют односторонней бифуркации, если й/(2Ь)ф0 (на
рис. III.8 d/(2b) < 0). Изолированные решения, разрушающие бифуркацию при
6=^0, определяются уравнением (III.30). В суперкрити-ческом случае
диаграмма, представленная на рис. III.7, с учетом второго приближения
принимает вид, показанный на рис. III.8.
Необходимо добавить, что случаи (1) и (2) исключают некоторые
возможности; например, случай /^ = 0, F^^O, который всегда можно получить
из (1) в некоторых новых переменных (р', е'), вводимых при ортогональном
преобразовании (р, е)-плоскости. Требуемое ортогональное преобразование
устраняет смешанное произведение(ре в уравнении гиперболы (III. 13))
и возвращает нас к случаю FnV#0.
§ II 1.5. Устойчивость решений, разрушающих бифуркацию
Устойчивость изолированных решений, соответствующих кривой р(е, 6), можно
исследовать на основе теоремы о факторизации. Налагая на решения р = р(е,
6), х = е уравнения (II 1.1) малые возму-
ТЕОРИЯ НЕСОВЕРШЕНСТВ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ
45
щения, пропорциональные eyt, находим, что
у(е) = /7е(р(б, е), е, б) = - ре (б, е) ММб> е), е, б). (III.32)
Можно доказать, что
(1)-устойчивые ветви, на которых (е, 0) сохраняет знак, при 6=^0
переходят в устойчивые ветви, на которых м-е (е, 6) имеет тот же самый
знак;
Рис. III.9. Устойчивость изолированных решений, разрушающих бифуркацию.
46
ГЛАВА III
(2) смена устойчивости на любой ветви р = р(е, б) происходит в каждой
