Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
4. Ортогонализационная дырка. Рассмотрим важное явление,
сопровождающее построение любого псевдопотенциала. Речь идет о так
называемой "ортогоналпзациоппой дырке') или "дырке обеднения".
Суть дела чрезвычайно проста. Любая замена правильной волновой функции на
модельную приводит к изменению заряда там, где эти функции отличаются
друг от друга. В результате может нарушиться электронейтральность задачи,
чего допустить нельзя. Значит, построив некоторый псевдопотенциал, мы
должны вычислить соответствующее изменение заряда (дырку обеднения) и
найти способ учесть этот заряд1). Это делается так.
Пусть истинная волновая функция Т-, а модельная функция ф. Пусть эти
функции совпадают вне некоторой модельной области радиуса RM (это не
обязательно радиус остова Rc, а просто-некоторое определенное
расстояние). Тогда полное изме-
') В литературе для него используется обозначение Z&Р], от английского
depletion - обеднение.
И Л. Ж. Ястребов, А. А. Кадиельс""
162
ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦНАЛОВ
ненпе заряда, возникшее в результате замены 4' на ср, таково: Zdpi = 2
\ [|Т|2-|ф|2]^г. (4.48)
k<kFам
Запишем уравнения Шредиигера для Чг и ср:
(-V2+ у(г) -E)W(r, Е) = 0, (4.49)
(_У'- + Щг, Е)-Е)ф(г, Е) = 0. (4.50)
Повторим прием, использованный нами при выводе правила сумм Фриделя (см.
§ 2). А именно, запишем (4.49) для энергии Еj и умножим на W*(.E2). Затем
запишем (4.49) для Е2, произведем комплексное сопряжение и умножим на
ЧИ^). Вычтем одно выражение из другого и положим, что Et отличается от Ег
на малую величину. Это даст нам право разложить все функции, зависящие от
Е2, в ряд Тейлора. В результате получим для |ЧГ(?')|2 выражение, куда не
входит потенциал. Повторим ту же процедуру для уравнения (4.50). Получим
выражение для |ф(?")12, куда входит производная по энергии от
псевдопотенциала, поскольку он тоже был разложен в ряд Тейлора.
Подставляя выражения для 1442 и ] ф 12 в (4.48), используя теорему Грина
п тот факт, что на поверхности сферы интегрирования по предположению
функции ? и (р совпадают, получаем выражение для заряда дырки обеднения
[333]:
Z(iPi = - 2 f фк (г) ~ фк (г) d3r. (4.51)
k"kf J
Прежде, чем двигаться дальше, обсудим смысл этой формулы. На первый
взгляд здесь возникает противоречие с нашим предположением, что при
замене истинной волновой функции на модельную обязательно возникает дырка
обеднения: из формулы (4.51) следует, что это так только для тех
псевдопотенциалов, которые зависят от энергии. Если построить
псевдопотенциал, который от энергии не зависит, то по (4.51) дырка
обеднения не возникает.
Как ни странно, но это действительно так. Рассмотрим исходную формулу
(4.48). Фактически в пей записана разность двух нормировочных интегралов,
одного - для истинной функции, другого - для модельной. Дырка обеднения
появляется тогда (как это следует из определения (4.48)), когда модельная
функция не нормирована. Из формулы (4.51) следует, что если дырка
обеднения отлична от нуля, то псевдопотенциал зависит от энергии. Таким
образом, ненормированность модельных функций приводит к энергетической
зависимости псевдопотенциала.
§ 12. ФОРМФАКТОР МЕТОДА ОПВ
163
Действительно, построение не зависящего от энергии ОПВ-формфактора (4.47)
основывалось на выделении матрицы Q нормировочных интегралов для ОПВ и
дальнейшей "нормировке" формфактора. Поскольку между энергетической
зависимостью псевдопотенциала и ненормированностыо модельных функций
существует связь, то ясно, что дополнительная ортогонализапия OIIB между
собой п их нормировка могут привести к не зависящим от энергии
псевдопотенцпалам. Это указывает интересное направление для исследований.
Продолжим рассмотрение выражения (4.5J). Оно напоминает формулу для
фриделевской суммы. Последняя возникла как интеграл по всем состояниям (в
теории рассеяния - по энергии, а не по волновым векторам, как в (4.51))
от суммы времен задержки, тоже определявшихся с помощью производных по
энергии, Т; = dr\t/dE.
Энергетическая зависимость заряда обеднения - явление того же порядка,
что энергетическая зависимость радиуса модельного потенциала в методе
фазовых функций (см. § 4). Действительно, мы видели, что радиус области,
которую можно "выкинуть" из рассеивающего потенциала, зависит от энергии.
Следовательно, количество "выкидываемого" заряда тоже зависит от энергии.
Заметим, что в (4.48) входят не пробные функции, а волновые функции
электрона в кристалле. Тем самым, и в (4.51) фигурирует "кристаллическая"
модельная функция, а не пробная (т. е. не 1к>). Однако анализ порядков
малости, проведенный в (333], показывает, что (4.51) можно переписать в
виде
7 - "V /I 9W
^dpl Qj?
k<kf
Вычислим Zdpi для ОПВ-формфактора:
z№~- 2 (2<ki"x"ik>) + 2
k>. (4.5:
0\
k^,kF a / k"kF \ fl (/;fi ~ /
(4.53)
Первый член представляет собой заряд обеднения для простых металлов,
второй член - для переходных. Мы видим, что должен наблюдаться очередной
"странный эффект": для переходного металла дырка обеднения может быть
