Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Если Е, Н, D и В записать в комплексной форме, то усреднен-Электромагнитные поля
17
ный по времени вектор Пойнтинга (1.2.6) и средняя плотность энергии (1.2.5) в случае синусоидально изменяющихся полей запишутся в виде
S = ^RefE X H*] (1.3.14)
и
f/ = |Re[ED* + B-H*]. (1.3.15)
1.4. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
И МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
Уравнения Максвелла, рассмотренные в разд. 1.1, представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. Определенное преобразование этих уравнений позволяет получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет каждое из векторных полей по отдельности. Ограничимся рассмотрением областей, в которых как плотность заряда р, так и плотность тока J равны нулю. Будем также предполагать в этом разделе, что среда является изотропной, т. е. величины є и /х являются скалярами.
Подставив в уравнение (1.1.1) материальное уравнение (1.1.6) для В, разделив обе части на /х и применив оператор ротора, получим
V X ^V X Е| + ~V X H = 0. (1.4.1)
Дифференцируя (1.1.2) по времени и используя (1.4.1) совместно с материальным уравнением (1.1.5), имеем
V X (- V X Е) + 6-^-7 = 0. (1.4.2)
U / dt2
Теперь воспользуемся векторными тождествами
V X (і V X Е) = ^V X (V X Е) + IV X (V X Е) (1.4.3)
VX(VXE)=V(V-E)-V2E, (1.4.4)
Тогда уравнение (1.4.2) преобразуется к виду д2Е
V2E- це—— + (V In ja) X (V X Е) - V( V • Е) = 0. (1.4.5)
at
Далее, подставляя выражение (1.1.5) для D в (1.1.3) и используя 2-63117 Глава 1
векторное тождество
V -(eE) = ev -E + E- ve, (1-4-6)
из (1.4.5) получаем волновое уравнение для вектора поля Е: д2Е
V2E - lie—— + (V In ji) X (V X Е) + V(E • V In е) = 0. (1.4.7) at
Волновое уравнение для вектора магнитного поля выводится аналогичным образом и имеет вид
52Н
V2H - це—- + ( V In є) X (V X Н) + v(H • V In ц) = 0. (1.4.8) dt
В однородной и изотропной среде градиенты логарифмов от є и /л обращаются в нуль и волновые уравнения (1.4.7) и (1.4.8) принимают вид
V2E-ft6~ = 0, V2H - \it-~ = 0. (1.4.9)
Bt2 ' dt2
Эти уравнения являются стандартными волновыми уравнениями для электромагнитного поля. Им удовлетворяет хорошо известное решение в виде плоской волны1'
Ф = e/(w/-k-o> (1.4.10)
где угловая частота ш и величина волнового вектора к связаны соотношением
M = "V^ (1.4.11)
а под ф подразумевается любая декартова составляющая векторов E и Н.
Если наблюдатель перемешается таким образом, что он всегда измеряет одно и то же значение поля, то траектория его движения г (0 должна удовлетворять условию
uf - к • г = const, (1.4.12)
где постоянная является произвольной и определяет значение поля, «измеряемое» наблюдателем. Уравнение (1.4.12) представляет собой уравнение плоскости, перпендикулярной в любой момент вре-
Плоские волны не являются единственным решением этих волновых уравнений. Другим решением являются так называемые «гауссовы пучки», которые мы рассмотрим в гл. 2.Электромагнитные поля
19
мени t волновому вектору к. Эта плоскость называется поверхностью постоянной фазы. Нетрудно видеть, что она перемещается в направлении к со скоростью
(1-4.13)
которая называется фазовой скоростью волны. Если мысленно заморозить волну во времени, то расстояние между двумя соседними максимальными значениями поля есть не что иное, как длина волны, определяемая выражением
Л (1.4.14)
к W
Фазовая скорость волны является характеристикой среды и выражается через диэлектрическую є и магнитную /х проницаемости. Из формул (1.4.13) и (1.4.11) получаем
U = -L. (1.4.15)
у>?
Фазовая скорость электромагнитного излучения в вакууме равна 1
^OeO
2,997930- IO8 м/с,
тогда как в веществе ее значение дается выражением с
V = — п '
где п = yf?S/?^Q — показатель преломления вещества (среды). В табл. 1.1 приведены значения показателей преломления для некоторых наиболее часто используемых оптических материалов. Однако следует иметь в виду, что для немагнитных материалов (р = /х0) е, а следовательно, и п зависят от частоты. Зависимость п от частоты приводит к хорошо известному явлению дисперсии в оптике. В диспергирующей среде фазовая скорость световой волны зависит от частоты.
Рассмотрим теперь решения уравнений Максвелла в виде плоских волн с учетом векторной природы электромагнитного поля. Используя формализм комплексных функций, запишем плоские электромагнитные волны в виде
E = U1^oe'*"'-"-'), (1.4.16)
H = и2Н0е'^'~к-г\ (1.4.17)20
Глава 1
ТАБЛИЦА 1.1. Показатели преломления некоторых оптических материалов*
Материал Показа- Материал Показатель
тель пре- преломления
ломления
AgCl 2,05 InAs при 3,42
X = 10,6 мкм
As — S (стекло) 2,61 InP при 3,05
X = 10,6 мкм
BaF2 1,47 InSb при 3,95
X= 10,6 мкм
Bi4Ge3O12 2,09 KBr 1,56
CaF2 1,43 KCl 1,49
CdF2 1,43 KI 1,66
CdS 2,47 LiF 1,39
CdSe при X = 1 мкм 2,55 MgF2 1,37
CdTe при X =
= 10,6 мкм 2,69 MgO 1,74
CsBr 1,69 NaCl 1,54
Csl 1,78 NaF 1,32
CuBr 2,10 PbF2 1,76