Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
ао* со*
лами T= -у- . П = П (0) -j- ¦—- , Обобщенная сила Q, созданная силами
сопротивления, по формуле (3-383) будет:
«-2(-x-v„ ?)--2^(?-?)*-
а а
а а
При малых колебаниях можно приближенно положить
2ха к2 Wи)+*:* <*>]¦»
Следовательно,
и уравнение Лагранжа получает вид:
л5 -\- cq = — Xq. Его физический смысл состоит в том, что <*(Г+Д)
(3-468) (3-469) (3-470) (3-471)
а потому механическая энергия системы при наличии сил сопротивления убывает. Функция
Ф = -
Iq* 2
(3-472)
называется диссипативной функцией Рэлея. Она характеризует быстроту убывания механической энергии системы. Обозначив
— = k*, — = 2п, а а
(3-473)
придадим уравнению (3-470) вид:
q .f 2nq -f k*q = 0. (3-474)
Если k* — /і2>0, то общее решение уравнения (3-474) имеет вид:
q = he~nt sin {Yk* - п* t + 0), (3-475)
136 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
Величина натурального логарифма отношения абсолютных величин предыдущего и последующего наибольших отклонений, т. е. — n'w -г
называется логарифмическим декрементом колебаний. Если п2 — № > 0, то общее решение уравнения (3-473) имеет вид:
q = e~nt (C1 ch/л2 - t -f C2 shVn2-k* t). (3-479)
Постоянные Ci и C2 по начальным данным q0 и определяются формулами:
C1=^0, C2=^0 . (3-480)
Движение не носит колебательного характера и называется апериодическим. При больших значениях t приближенно можно считать:
Ч \ (Ci + C2) е- (я - ^*2 -*2) (3-481)
а потому Hm^ = O и система асимптотически приближается к поло-
> OO
жению равновесия.
где постоянные Л и 8 определяются по начальным данным и Jo формулами:
Г К*-п* q0+nq0
Отклонения точек системы от положения равновесия, даваемые (3-448), выражаются формулой
sa = Aa e~nt sin (Y?2-л2 / a. е), (3-476)
где Лд определяется формулой (3-455). Следовательно, точки совершают колебания с периодом
2т= 2п (3-477)
- я2
Абсолютные величины последовательных наибольших отклонений точек от положения равновесия образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 137
= l0 ch /л» - аз * .J. ?<> + nq<> sh YhT=Wt "]«-*'+
L і/*2 _ л2 J
H--1 с Q (S) в" Л V - Sh (f _ 5)]
(3-484)
0
при /? = л
0 = [9о + (Qo + nq0) t] е-п* +Q (5) е~ л (' ~ ^ (t - S) <Й. (3-485)
Первые части в этих формулах представляют затухающие колебания, получающиеся без добавочной обобщенной силы Q (t). Последние же интегральные члены определяют так называемое вынужденное малое ко-лебание. Так как затухающие колебания практически быстро уменьшаются, то через некоторый промежуток времени все движение системы сводится к вынужденным колебаниям.
Наиболее важен случай гармонической обобщенной силы, выражаемой формулой
Q==NsinU>t + S).
§ 3-114. Вынужденные колебания при наличии сопротивления
Если на систему, кроме сил F поля и сил сопротивления N = —X V J'r а. к ааа»
действуют еще силы, заданные как функции времени и создающие обобщенную силу Q(t), и система продолжает совершать малые колебания около положения равновесия в поле сил F , то приближенное уравнение Лагранжа принимает вид:
ад +*Я + cq = Q(t), (3-482)
где по-прежнему кинетическая энергия выражается формулой T= -~ >
со2
потенциальная — формулой П = -j- и обобщенная сила сопротивления —
формулой Q = — X^.
Если уравнение (3-4S2) согласно обозначениям (3-473) написано в
виде: q -\-2nq-\-k2q — то его решение при начальных данных ^0=O»
qo, Яо имеет вид: при k>n
q = \q0 cos YW=H2 t + Яо + п<?<> sin YW=Wt 1 e~nt+ L Yw _ Л2 J
t
H--1 f Q (S) е-n (' -5) Sin [Yk2 - n2 у - S)] dl; (3-483)
а У ?2 _ П2 J 0
при n>k
Q
138 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
где
A =- H -, (3-487)
a Y{k* — p*)* + \n*p*
k2~p2_ - .--- (3^88)
Y{k*-p*)* + in*p* Y(k* — p*)* + 4n*p*
Так как первые два члена в формуле (3-486) представляют затухающие колебания, то в этом случае вынужденными называются колебания, определяемые последним членом A sin (pt 4- 5 — є). Это — колебания гармонические с амплитудой А и фазой pt -f6 —г. Период их 2т= —
P
совпадает с периодом сил Q, определяемым формулой (3-486), а фаза pt-\-b — e сдвинута сравнительно с фазой pt -)- о на угол е. Если бы система была отклонена от положения равновесия в поле сил F постоянной обобщенной силой величины H и находилась бы в состоянии покоя, то обобщенная координата в новом положении покоя имела бы
значение A0 = ^p-. Отношение амплитуды А вынужденных колебаний
при обобщенной силе Q = H sin (pt -f- 8) к статическому отклонению A0 называется коэффициентом динамичности:
Обозначив
Aq Y (k*—p*) *+4п* р*'
/мот+* (?)'(?)'
(3-489)
(3-490)
придадим формуле* для коэффициента динамичности вид:
В этом случае при начальных данных =°> Qo> Qo и при ft > я решение уравнения (3-482) принимает вид:
o = e-nt \qo cos Yk* - п* t + + Пд° sin Yk* - п* t1 -
l Yk*-n* j
— е~ nt J^sm (5 — є) cos Yk* — n* t -f pcos(5-e) + nsin(8-s) AnVWzrntA + Ab\bint±l-*. (3-486)
