Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3-16. Центроиды
Геометрическое место мгновенных центров скоростей на неподвижной плоскости называется неподвижной центроидой, а геометрическое место мгновенных центров скоростей на подвижной плоскости, жестко связанной с движущейся плоской фигурой, называется подвижной центроидой. При движении фигуры подвижная центроида катится по неподвижной, прикасаясь к ней в каждый момент в точке, которая служит мгновенным центром скоростей для данного момента времени (рис, 3-28).
Если центроиды в некоторый момент соприкасались точками Po и PQ и в данный момент соприкасаются точкой Р, то PQP= kj PqP» Если представить себе свободную точку, которая движется так, что в
28
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
любой момент / совпадает с соответствующим мгновенным центром Р, то траекторией этой точки на неподвижной плоскости будет неподвижная центроида, а на плоскости, жестко связанной с движущейся фигурой, — подвижная центроида. Скорость этой точки в неподвижной и подвижной плоскостях одна и та же и называется скоростью и мгновенного центра. Алгебраическая величина ир этой скорости выражается через алгебраическую величину to угловой скорости фигуры и радиусы р и р' кривизны неподвижной и подвижной центроид формулой
(3-66)
о
Рис. 3-28.
P ±±v
P р'
где знак «-{-» соответствует тому случаю, когда центроиды расположены по разные стороны от общей касательной в точке Р, знак «—» тому, когда они лежат по одну сторону от этой касательной.
§ 3-17. Ускорения точек плоской фигуры
Из формулы (3-60) для вектора V скорости точки плоской фигуры получается формула для вектора ускорения:
w = w0 + eXr' + u)X
dt
где E = -цг обозначает вектор углового ускорения фигуры; этот вектор е. так же как и вектор о>, направлен перпендикулярно к плоскости движения. Так как'
I = V^=WXr', то w = w0 + eXr'+u)X(crtXr'),
= W0+8 X Г' — u)2r\
(3-67)
Слагаемое еХг', как и в случае вращения тела около неподвижной точки, называется вращательным ускорением; оно направлено перпендикулярно к радиусу-вектору г' и имеет модуль, равный | е | •/•'. Слагаемое u)2r' направлено всегда к полюсу О' и называется центростремительным ускорением. Проекции Wx и w вектора ускорения на неподвижные оси выражаются формулами:
-So) — 0,2 (X-X0),
wy = zVy+?(*~" *о) - 0,8 Су-уо).
(3-68)
Сумма вращательного и центростремительного ускорений eXr'-w2r' дает вектор ^ , представляющий ускорение точки M в ее воображаемом круговом движении по окружности с центром в полюсе О', происходящем с алгебраической угловой скоростью to = ~ и алгебраи-
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 29
UM Ju
Рис. 3-30. Рис. 3-31.
Эпюра ускорений W^f точек, лежащих на одной прямой с центром q ускорений, представляет собой треугольник (рис. 3-30) с вершиной в центре q и острым углом р.. Такую же эпюру с вершиной в полюсе О'
дают ускорения w^ ^ точек, лежащих на одной прямой с полюсом, а концы векторов W^j ускорений этих точек лежат на прямой, параллельной стороне эпюры ускорений W^i') , противолежащей углу р. (рис. 3-31).
¦ —1 так что этот вектор w)jj определяется формулами (3-41) и (3-42) для ускорения в круговом движении, а формула (3-67) принимает вид:
w = W0 + . (3-69)
Если для данного момента to* -f- є2 -ф О, то wj^ ) ^tO и на плоскости.
жестко соединенной с движущейся фигурой, можно построить единственную точку q, ускорение которой в этот момент равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Координаты Xq , JVq мгновенного центра q ускорений по неподвижным осям ху выражаются через координаты
Xq, Уо ПОЛЮСа И ЄГО ускорение Wq фор-
мулами:
u)2 та; — SW ХґЛ=х 4__ о* Q-v л
XQ—xq1 <о4 + 62 'i
io2w -1-е w г (3-70) Vn=y + Woy^ Wox
По заданному ускорению W0 (рис. 3-29) полюса центр ускорения можно построить,
повернув вектор W0 вокруг полюса О' на угол р., определяемый формулой tel1 = ""^' в направлении вращательной ckopocthV \ если 0)6^0, и в направлении, противоположном ей, при toe<:0; на поверну-
I Wn I
том направлении следует отложить 0'Q = 0 . При данном Ценней* -f. g2
тре Q ускорений для любой точки Al ее ускорение W^l = W^ т. е. iWAfI=5Q^V»4+ ii ; Z (W^, AlQ) = jx.
зо
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
§ 3-18. Круги Лагира и Бресса. Формула Савари
Ускорение w точки P1 в данный момент совпадающей с центром скоростей (рис. 3-32), направлено перпендикулярно к общей касательной к центроидам. Если направление этого ускорения принять за положительное направление нормали, а положительное направление касательной получить поворотом положительного направления нормали на прямой угол против хода часовой стрелки, то положительная величина w ускорения точки P определяется через алгебраические значения угловой скорости со и скорости и движения мгновенного центра по центроидам формулой
Wn = OiU, (3-71)
так что (л и и одного знака. Для любой точки M (рис. 3-33) фигуры нормальное ускорение направлено по прямой MP, а касательное — по перпендикулярной прямой MT. Принимая за положительное направление нормали направление от M к Р, а положительное направление касательной выбирая так, чтобы оси TMP образовывали правую
