Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
функция дается равенством:
In (sin и <0 dp -)- р cos п <в скв)
4тгр sin п и откуда
In . I , .
7. = -j- lg Р +Sln п " -
Но
dz I ,,_i
Hz\ ир '
так что формула (6) дает сейчас же функцию тока для движения вихря в
виде:
I I
I. = у - )g (п рн -l) = -j- lg (р sin г/ <в) -{- const.
Составляющие скорости U, V отсюда легко выводятся, и траекторией вихря
будет служить кривая, заданная уравнением
р sin п <в = const.
Рассмотрим теперь движение единственного вихря лу в верхней г -
полуплоскости, предполагая опять жидкость покоящейся на бесконечности, и
приведем в соответствие :>той полуплоскости односвязную область Д с
помощью формулы
z -A (Z).
Как и выше, будем иметь:
AliTt А/ Z j
и скорость вихря Si сможет быть выражена на основании формул (2) в виде:
L\ - i Vl = Jim
dZ
2ir. p s(Z)-
2 ir.
a)
X
Рис. 82.
Рис,. 83.
что можно переписать иначе: d
U,-iVx:
= lim
dZ
2иг lg Z-
¦zx
2ir.
(8)
Рассмотрим просто функцию, стоящую внутри последвих квадратных скобок;
отбрасывая несущественную постоянную, мы видим, что она стремится к
1_
2i~
lg
dz
ш
!g У
так что мнимая часть этого выражения -j- v'/1 будет
I
2тс
lg*/ - !g
ds
dZ
O)
(10)
Естественно, как мы уже заметили, не является уже анали-
тической функцией Zx и, следовательно, скорость вихря (/(, ух) не будет
уже получаться из функции ty*, рассматриваемой как функция тока.
Но мы здесь отметим очень интересную теорему.
Теорема. Скорость "*, г*, выведенная из применением обычных формул
дб* дй>*
(11)
w -IV '
ЭХ
равна удвоенной скорости Uv VJ рассматриваемого вихря.
В самом деле, прежде всего скорость (Г,, Г/) получается из формулы (8),
трактуемой, как это делалось выше, для аналогичного уравнения ; получаем,
таким образом:
так как
¦ i tv
lira
I
'2i~
/J_ <Pe\
2 dZn-ds
L\ ^ Л
1 I ds \ 2iy1 \ dZ /,
d i . , _ 1 / ds \
dZ Ц' (Г S' 2м/, \ dZ],
Вычислим теперь п* - iv* посредством формул (11). Прежде всего
I ^
в ф* имеется часть, происходящая от члена -т_ lg , который
фигурирует в функции (9), этот член будет аналитической функцией от Zt и,
следовательно, в выражение и* - iv* он вносит член, равный
I
'lit:
/ d2s \ dZа
ds
\iz/i
остается теперь рассмотреть, что произойдет от члена --- lgy, в ¦)' Этот
член внесет в п* и к* выражения:
/
2к
1 d<Ji
2 ЗУ j
Л____
2т/1 9.Y,
а в ?/.* - м;*:
2тгу, \ 9 Г,
Но в силу аналитичности xx-\-iyv
дИ\
1 ( d!h I дУг \ 2т\дУ^ дХ1 )
функции от Z, имеем:
дхх
9 Г, ЭХ,
и, следовательно,
дУ, ^ 9Xj
9 (*! + *//,)
ЭХ,
№),¦
Следовательно, в и*-
¦*г* вносится член:
и мы имеем окончательно:
и* IV* =
ц А'/
К
г ds
\
и значит, имеем:
и* - гг*
что и требовалось доказать.
Что касается вещественной части ср* функции (9), то она имеет только
отдаленное отношение к скорости вихря.
Можно также выразить полученный результат, сказав, что скорость вихря
получается из функции тока
Пример. Если мы возьмем снова уже рассмотренный случай вихря,
Это и есть результат, уже найденный выше.
Другой пример. Движущийся вихрь внутри полосы, ограниченной двумя
параллельными прямыми; жидкость покоится на бесконечности.
Пусть толщина полосы будет q; конформное отображение этой полосы на
полуплоскость (.?) совершается уравнением
(12)
тс
находящегося внутри угла величиною - , то имеем:
п •
У = р Sin П 0),
то имеем:
и функция - ф* становится (с точностью до постоянной)
-1-6* = -1- lg(p sin п <о).
2 ' 4к 7
Траектория вихря будет, следовательно, иметь уравнение р sin иш = const.
и 6* получается из уравнения (12).
Получаем
у = е а sill
. 7t Y I ds
а ' \dZ
г.Х
а 6
У ia
,г4
О
Рис. 34.
Рис. 85.
так что с точностью до постоянной имеем:
I
тг'!'* =-тг tesin
. тт:Y а
Скорость вихря, следовательно, параллельна границам и равна
1 itYj
15-Ctg-T;
уто то, что уже нами было найдено, но совершенно иным путем.
У
Рис. 37.
. a Z
т акже преобразование з = г .-= , переводящее верхнюю полу-
(X -р //
плоскость г в круг | Z | а, даст нам без труда:
-1ф*= J, ig(a?_x*-1"),
что дает для скорости вихря, помещенного_в г:
I
Н "а-Х,2- р
.. г,
2т: а2 - Л',2- Y*
результат, вполне совпадающий с уже нам известным.
Рассмотрим теперь более сложный пример поступательного перемещения
кругового цилиндра со скоростью V параллельно ОХ, сонро-
вождаемого образованием позади двух вихрей, симметрично расположенных
относительно ОХ и имеющих противоположные интенсивности. Мы можем
предположить цилиндр неподвижным, считая жидкость на бесконечности
движущейся со скоростью, противоположной V. Далее мы поставим в
соответствие верхней половине фигуры в плоскости Z верхнюю полуплоскость
г путем классического преобразования (см., например, наши Legons
surl'Hydrodynaimque (Chap. VJ, p. 61, 1929, Gauthier-Villars, edit.)
1
(13)
1Голуокружности радиуса 1 будет соответствовать прямолинейный отрезок -
1, 1 в плоскости s. Приняв во внимание
поступательное
движение на бесконечности, напишем комплексный потенциал в плоскости s в
виде:
/=^]g^=A + 2F,. 04)
где в последнем члене поставлен коэфициент 2 V, чтобы получить скорость V
