Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
1 дЪ dc
и применяя те же выкладки, что и раньше, приходим к формулам:
В(и,х) . В (у, у) , В (га, г) пе ,
Вф.с) ^ В(Ъ,с) Т" В(Ъ,с) ^ '
Отоюда вытекает, как и выше, что для р = const
t = (?.+?*) * + ||+", +:•)?
- уравнения, обобщающие уравнения Коши,
IIo определению:
t t
Р(А>Л D(Y,y) . D(Z,z) 1 D(b,c) I) (&, c) i) (6, c) J
Для t = t0 имеем ;0* = 0, но нет никаких оснований считать, что это будет
так и при t ф t0. Становится ясным, каким образом теорема Лагранжа
перестает быть справедливой для жидкостей, когда внешние силы
неконсервативны.
Свойства вихрей. Вернемся к случаю, когда имеется потенциал ускорений.
Известны определения линий тока, вихревых линий, жидких трубок или нитей
(образованных линиями тока),
Циркуляция остается постоянной, когда меняется t (и одновременно линия
L), ер л и существует Q.- потенциал ускорений. Это следотвие теоремы
Лагранжа, так как при указанных условиях:
если, по крайней мере, функция F однозначна. Последнее условие можно
уточнить, сказав, что оно сводится к требованию однозначности потенциала
ускорений Q. В самом деле, в момент t0 координаты я, Ь, с для L0 могут
быть представлены в виде:
где X- параметр, который достаточно менять в пределах от XL до Х2, чтобы
получить всю линию L0. В момент t координаты для L являются функциями (я,
Ъ, с, <)" т. е. X и t, вида:
х = % (X, 0, у = '1-2 (X, 0, г = 4з (X, О,
и X должно меняться от Xj до Ха, чтобы точка (х, у, г) описала L.
вихревых трубок. Теорема о расхождении, примененная к вихрю, показывает,
что поток вихря через замкнутую поверхность равен нулю:
(a, fS, у - направляющие косинусы внешней нормали) в силу равенства нулю
расхождения от вихря.
Циркуляция по замкнутой линии:
о
Рис. 1.
udx~\- ... -(uQda -j- ...) = dp (a, b, с, I); тогда, так как линия L
замкнута (рис. 1),
" = ?, (X), Ь == фа (X), с = ср3 (X),
Тогда мы имеем:
Это есть функция t. Имеем:
т~/ж["+4-
Правая часть равна нулю, если Q принимает то же значение после обхода
контура L. Следовательно, Cl = const, что и требуется доказать.
Применение теоремы Стокса. Проведем через линию L одноевяз-дую
поверхность S, и нриняв, по обычному правилу, положительное направление
обхода L, имеем:
Правая часть дает поток вихря через поверхность 8 или интенсивность
вихрей, пронизывающих ее. Интенсивность эта равна, следовательно,
циркуляции вдоль L.
Сохранение циркуляции сводится, в силу этого обстоятельства, к
постоянству во времени интенсивности вихрей, пронизывающих поверхность 8,
когда последняя меняется как жидкая поверхность. Для замкнутой
поверхности полная интенсивность (или полный ноток) обращается в нуль,
что мы уже внаем из теоремы о расхождении потока. Циркуляция вдоль линии,
проведенной на вихревой новерхности, равна нулю, так как эта линия может
быть стянута в точку непрерывной деформацией на поверхности. В самом
деле, взяв за поверхность ограниченную контуром часть рассматриваемой
вихревой поверхности, имеем на пей везде 0И = О и, следовательно, СД = 0.
Обратно, если циркуляция обращается в нуль вдоль всякой замкнутой линии,
проведенной по некоторой поверхности 8, то последняя
будет являться вихревой поверхностью. Так как J J ?2n do должен
быть нулем на всякой части поверхности, то необходимо, чтобы Й" = О,
т. е.
Пересечение двух вихревых поверхностей является вихревой линией; так как
вихрь S, будучи касательным одновременно к двум поверхностям, пойдет по
касательной и к линии их пересечения.
Теорема. Поверхности (или линии) вихрей сохраняются, они являются жидкими
поверхностями (или линиями) (Гельмгольц). В самом деле, на поверхности Т
проведем какую-нибудь замкнутую линию Z; в момент 10 на поверхности Т0,
которую предполагаем вихревой поверхностью, соответствующая линия будет
L0. Имеем:
так как L0 находится на 7'0. Но это имеет место для всякой 7.0,
следовательно, для всякой L, а потому Т является вихревой поверхностью.
Эта теорема переносится и на вихревые линии, так как они рас- !
оматриваются как пересечения
равна нулю вдоль сложной линии,
изображенной на рис. 2. Отсюда видим, что интенсивность трубки равна
постоянному значению циркуляции вдоль L.
Следствие. Вихревая трубка не может кончаться внутри жидкости; она или
замывается сама на себя, подобно кольцу, или заканчивается на стенке
сосуда, или простирается либо до бесконечности, либо до поверхности
разрыва.
Бесконечно тонкая трубка. Пусть do ее поперечное сечепие, ее
интенсивность 1, по определению равная
S перпендикулярен поперечному сечению или касателен к трубке. Эта
величина Qeb, следовательно, постоянна: 1) когда меняется t, 2) еслп
перемещать поперечное сечение вдоль трубки.
Пусть АВ и А'В' два соседних поперечных сечения трубки в момент t (рис.
3). В другой момент f, они перейдут в А гВ{ и Ai'Bi, составляя новый
косой цилиндр. Пусть do и do, поперечные сечения двух маленьких
цилиндров. Имеем, с одной стороны,
Cl = Clq - О,
Вихревая трубка. Ее интенсивность. Для замкнутой линии L, окружающей
